Основные операции над многомерными матрицами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Рязанский государственный радиотехнический университет

Вечерний факультет

Контрольная работа

по дисциплине:

«Многомерные графы»

Выполнил: студент группы 3030 Лапин Алексей Алексеевич

Проверил:

Кабанов Анатолий Николаевич

г. Рязань 2015 г.

Лабораторная работа № 1

Упорядоченные множества элементов. Структура

И способы представления многомерных матриц

Теоретическая часть

Круг задач, которые представляются дискретными моделями, чрезвычайно широк и разнообразен: графы, транспортные потоки, логические системы, информацинно-поисковые системы, системы распознавания образов и многие другие. Особую трудность в решение дискретных задач вносит специфика многоуровневого управления, заключающаяся в том, что в дискретных моделях используются многоиндексные переменные. Например, множество А{i,j,k,l,m}, А - оценка, i - номер предмета, j - номер преподавателя, k - время, l - номер группы, m - номер студента удобно представлять с помощью многомерных матриц.

Многомерной матрицей (ММ) называется упорядоченная совокупность многоиндексных элементов a_i1i2…iW, где i_a=1,2,…,n_a; Целые положительные числа W, N_A=n₁n₂…n_W,n_a называются соответственно размерностью матрицы А, размером матрицы А, размером индекса i_a. Размерность W показывает число индексов в обозначении элементов a_i1i2…iW матрицы. Размер N_A матрицы А указывает общее число элементов матрицы. Размер индекса n_a показывает, сколько значений (от 1 до n_a) пробегает соответствующий индекс.

Структура многомерных матриц определяется структурой их индексов. Структура индекса может быть столбцовой или строчной. Индексы, имеющие, например, строчную структуру (строчные индексы), показывают положение элементов внутри какого-либо столбца. При индексном представлении элементов матрицы целесообразно ставить знак + или – соответственно над столбцовым или строчным индексом. Например, - элементы обычной двухмерной (плоской) матрицы. Общее представление многомерной матрицы А имеет вид А = А(p,g), где р – число столбцовых индексов, g – число строчных индексов. Для получения индексного представления многомерной матрицы вводится помечивание индексов. Пометка начинается с последнего индекса, который при g>0 принимается за строчный. Далее столбцовые и строчные индексы чередуются до тех пор, пока один из видов индексов не исчерпывается. При p³g все оставшиеся индексы принимаются за столбцовые, при p<g – за строчные. Числа p и g в сумме дают размерность W матрицы А: p+g=W. Если матрица А является функциональной, например зависит от времени t, от пространственных координат x, y и т.д., то структурные числа p и g следует отделять от аргументов точкой с запятой, например A=A(p,g;t,x,y). Для наглядного представления многомерной матрицы используют табличное представление. Табличное представление многомерной матрицы – это блочно-иерархическая таблица, отображающая на плоскости структуру матрицы и численные значения элементов. Иерархия согласована с иерархией индексов таким образом, что крайним левым индексам соответствуют наиболее крупные блоки. При этом столбцовые индексы изменяются в столбцах, а строчные – в строках. Примеры представления многомерных матриц приведены в табл.1.1.

Таблица 1.1

Общее представление	Индексное представление	Табличное представление
А(0,1)	{ } i =	i = 1 i = 2
А(1,2)	{ } i,j,k =	i =1 i =2   k=1 k=2 k=1 k=2 j=1 111 112 211 212 j=2 121 122 221 222

В некоторых частных, но важных случаях приходится пользоваться плоскими табличными представлениями многомерной матрицы, которые являются обычными плоскими матрицами и получаются из табличного представления путем снятия всех перегородок. Их обозначают следующим образом: А_табл = {A(p,g)}_табл.

В ряде случаев записи математических выражений удобно представлять многомерные матрицы с помощью мультииндексов

, (1.1)

где p⁺ - столбцовый мультииндекс, имеющий вид столбца

p⁺ = [i₁⁺, i₂⁺,…,I_p⁺]^T;

- строчный мультииндекс, имеющий вид строки =[j₁^-, j₂^-,…,j_q^-]^T.

Следует отметить, что обозначение мультииндексов в соотношении (1.1) является условным, так как индексы должны располагаться в соответствии с правилом помечивания, т.е. чередоваться, а не группироваться по столбцовому и строчному признакам, как это следовало бы из буквального понимания соотношения (1.1).

Основные операции над многомерными матрицами

Помечивание для индексного представления матриц:

Умножение ММ на скаляр

Каждый элемент матрицы умножается на скаляр.

С помощью мультииндексов это можно представить в виде

* ={ }.