Замкнутый (сомкнутый) теодолитный ход

Для исходных данных:

X_ST1 = 1275.000 м, Y_ST1 = 2837.000 м

X_ST2 = 1196.056 м, Y_ST2 = 2775.617 м

Измерены: горизонтальные углы полигона (хода), наклонные расстояния и вертикальные углы между вершин полигона.

выполним обработку сомкнутого теодолитного хода.

 

1. Подсчитываем горизонтальные проложения каждой стороны хода (с точностью до 0,01 м). При вычислении функции (cos угол) представленный в градусах и минутах, вначале необходимо перевести в градусы (смотрите ведомость вычисления)

D_1-2 = 113,80 м

D_2-3 = 131,46×cos1°40′ = 131,40 м;

D_3-4 = 164,43×cos1°06′ = 164,40 м;

D_4-TS1 = 131,00 м;

D_TS1-1 = 142,40 м.

 

2. В ведомость вычисления координат замкнутого теодолитного хода вносим исходные данные для уравновешивания.

3. Вычисляем периметр полигона:
P = ΣD = 113,80 м + 131,40 м + 164,40 м + 131,00 м + 142,40 м = 683,00 м.

4. Подсчитываем сумму всех измеренных углов замкнутого теодолитного хода (без примычного):

Σβ = 118°15′30″ + 101°55′00″ + 116°11′00″ + 88°52′00″ + 114°45′00″ = 539°58′30″.

5. Вычисляем угловую невязку:
f_β = Σβ - 180°(n-2) = 539°58′30″ - 180°(5-2) = 539°58′30″ - 540° = -0°01′30″.

6. Вычисляем допустимую угловую невязку:
f_βдоп = ±2t√n = ±2×30″√5 = ±2′,
где t = 30″ точность теодолита

7. Так как угловая невязка меньше допустимой f_β = -0°01′30″< f_βдоп = ±2′, тогда ее распределяем поровну между всеми измеренными углами замкнутого теодолитного хода, с округлением до целых секунд:

Δβ = -(f_β)/n = - (-0°01′30″)/5 = +18″.

Поправки, добавляются в каждый измеренный угол и имеют знак, обратный знаку угловой невязки. Каждая поправка подписывается вверху, над измеренным углом. Сумма всех введенных поправок должна быть равна невязке, взятой с обратным знаком:

ΣΔβ=-f_β= 18″+18″+18″+18″+18″ = 90″ = 0°01′30″, условие выполняется.

8. В графе «Исправленные углы» ведомости записываем значения исправленных углов с учетом введенной поправки.

9. Для контроля еще раз подсчитываем сумму исправленных углов, которая должна быть с невязкой, равной нулю:

Σβ = 118°15′48″ + 101°55′18″ + 116°11′18″ + 88°52′18″ + 114°45′18″ = 540°00′00″;

f_β = Σβ - 180°(n-2) = 540° - 180°(5-2) = 540° - 540° = 0°, условие выполняется.

10. Последовательно вычисляем дирекционные углы всех сторон замкнутого теодолитного хода. Начинаем с вычислением начальной стороны ST2-ST1(обратная геодезическая задача).

α _{ST2 - ST1} = 37°52′00″:

α_ST1-1 = α _{ST2 - ST1} + β_{примычн} ± 180° = 37°52′00″+151°15′00″ - 180° = 9°07′00″;

α_1-2 = α_ST1-1 + 118°15′48″ ± 180° = 9°07′00″+118°15′48″+180° = 307°22′48″;

α_2-3 = α_1-2 + 101°55′18″ ± 180° = 307°22′48″+101°55′18″-180° = 229°18′06″;

α_3-4 = α_2-3+116°11′18″±180° = 229°18′06″+116°11′18″-180° = 165°29′24″;

α_4-TS1 = α_3-4+88°52′18″±180° = 165°29′24″+88°52′18″-180° = 74°21′42″;

 

контроль:

α_TS1-1 = α_4-TS1 + 114°45′18″ ± 180° = 74°21′42″ + 114°45′18″ - 180° = 9°07′00″.
Условие выполняется.

11. Пользуясь таблицей дирекционных углов и румбов, вычисляем румбы сторон замкнутого теодолитного хода:

r_TS1-1 = α_TS1-1 = СВ: 9°07′00″;

r_1-2 = 360° - α_1-2 = 360° - 307°22′48″ = СЗ: 52°37′12″;

r_2-3 = α_2-3 - 180° = 229°18′06″ - 180° = ЮЗ: 49°18′06″;

r_3-4 = 180° - α_3-4 = 180° - 165°29′24″ = ЮВ: 14°30′36″;

r_4-TS1 = α_4-TS1 = СВ: 74°21′42″.

12. Вычисляем приращения координат вершин полигона, для чего вначале определяем cos и sin дирекционных углов.

При вычислении функций cos и sin, угол представленный в градусах минутах и секундах, вначале необходимо перевести в градусы

Cosα_TS1-1 = cos9°07′00″ = 0,98737;

cosα_1-2 = cos307°22′48″ = 0,60710;

cosα_2-3 = cos229°18′06″ = -0,65208;

cosα_3-4 = cos165°29′24″ = -0,96810;

cosα_4-TS1 = cos74°21′42″ = 0,26956;

sinα_TS1-1 = sin9°07′00″ = 0,15845;

sinα_1-2 = sin307°22′48″ = -0,79463;

sinα_2-3 = sin229°18′06″ = -0,75815;

sinα_3-4 = sin165°29′24″ = 0,25055;

sinα_4-TS1 = sin74°21′42″ = 0,96298.

Вычисляем приращения координат по каждой стороне хода:

ΔX_TS1-1 = D_TS1-1cosα_X-1 = 142,40м×0,98737 = +140,60м;

ΔX_1-2 = D_1-2cosα_1-2 = 113,80м×0,60710 = +69,09м;

ΔX_2-3 = D_2-3cosα_2-3 = 131,40м×-0,65208 = -85,68м;

ΔX_3-4 = D_3-4cosα_3-4 = 164,40м×-0,96810 = -159,16м;

ΔX_4-TS1 = D_4-TS1. cosα_4-TS1 = 131,00м×0,26956 = +35,31м;

ΔY_TS1-1 = D_TS1-1. Sinα_TS1-1 = 142,40м×0,15845 = +22,56м;

ΔY_1-2 = D_1-2sinα_1-2 = 113,80м×-0,79463 = -90,43м;

ΔY_2-3 = D_2-3sinα_2-3 = 131,40м×-0,75815 = -99,62м;

ΔY_3-4 = D_3-4sinα_3-4 = 164,40м×0,25055 = +41,19м;

ΔY_4-TS1 = D_4-TS1. sinα_4-TS1 = 131,00м×0,96298 = +126,15м.

13. После вычисления приращений координат подсчитываем их суммы и находим линейные невязки в координатах вершин замкнутого теодолитного хода:

f_X = ΣΔX = 140,60м + 69,09м - 85,68м - 159,16м + 35,31м = +0,16м;

f_Y = ΣΔY = 22,56м - 90,43м - 99,62м + 41,19м + 126,15м = -0,15м.

Абсолютная линейная невязка (невязка в периметре):

f_S = √(f_X² + f_Y²) = √(0,16² + 0,15²) = 0,22м.

14. Допустимость полученной линейной невязки определяется величиной относительной невязки замкнутого теодолитного хода:

f_S/P=0,22/683,00=1/3105 ≤ 1/2000, условие выполняется относительная невязка меньше допустимой.

15. Невязки f_X и f_Y распределяем на каждое приращение координат с обратным знаком, пропорционально длине стороны хода, для чего находим поправки в приращения абсцисс (по оси X) и ординат (по оси Y) округляя их до 0,01 м:
δ_{ΔX TS1-1}= -D_TS1-1×(f_X/P)=142,40м×(-0,16/683,00)=-0,03м;

δ_{ΔX 1-2}= -D_1-2×(f_X/P)=113,80м×(-0,16/683,00)=-0,03м;

δ_{ΔX 2-3}= -D_2-3×(f_X/P)=131,40м×(-0,16/683,00)=-0,03м;

δ_{ΔX 3-4} = -D_3-4×(f_X/P)=164,40м×(-0,16/683,00)=-0,04м;

δ_{ΔX 4-TS1} = -D_4-TS1×(f_X/P)=131,00м×(-0,16/683,00)=-0,03м;

δ_{ΔY TS1-1} = -D_TS1-1×(f_Y/P)=142,40м×(0,15/683,00)=+0,03м;

δ_{ΔY 1-2} = -D_1-2×(f_Y/P)=113,80м×(0,15/683,00)=+0,02м;

δ_{ΔY 2-3} = -D_2-3×(f_Y/P)=131,40м×(0,15/683,00)=+0,03м;

δ_{ΔY 3-4} =-D_3-4×(f_Y/P)=164,40м×(0,15/683,00)=+0,04м;

δ_{ΔY 4-TS1} = -D_4-TS1×(f_Y/P)=131,00м×(0,15/683,00)=+0,03м

Полученные поправки записываем в ведомости над соответствующими приращениями. Далее обязательно выполняем контроль распределения невязок (сумма поправок по X и Y должна равняться невязке по осям X и Y, взятой с обратным знаком):

Σδ_ΔX = - f_X,
-0,03м-0,03м-0,03м-0,04м-0,03м = -0,16м = -0,16м.

Σδ_ΔY = - f_Y,
0,03м+0,02м+0,03м+0,04м+0,03м = +0,15м = +0,15м.
Условие выполняется.

16. В графе «Исправленные приращения» ведомости, записываем значения исправленных приращений (суммируем с поправкой). Так как ход замкнут, тогда суммы исправленных приращений координат должны быть равны нулю (иначе теодолитный ход не замыкается):

ΣΔX_ИСПР = 140,57м+69,06м-85,71м-159,20м+35,28м= 0;

ΣΔY_ИСПР = 22,59м-90,41м-99,59м+41,23м+126,18м= 0.
Условия выполняются.

17. Используя исправленные приращения координат, вычисляем последовательно координаты всех вершин замкнутого теодолитного хода:

X_TS1 = 1275,00м;

X_TS1+ΔX_ИСПР= 1275,00м + 140,57м = 1415,57м;

X₁+ΔX_ИСПР= 1415,57м + 69,06м = 1484,63м;

X₂+ΔX_ИСПР= 1484,63м - 85,71м = 1398,92м;

X₃+ΔX_ИСПР= 1398,92м - 159,20м = 1239,72м;

X₄+ΔX_ИСПР= 1239,72м + 35,28м = 1275,00м.

 

Y_ST2 = 2837,00м

Y_TS1+ΔY_ИСПР= 2837,00м + 22,59м = 2859,59м;

Y₁+ΔY_ИСПР= 2859,59м - 90,41м = 2769,18м;

Y₂+ΔY_ИСПР= 2769,18м - 99,59м = 2669,59м;

Y₃+ΔY_ИСПР= 2669,59м + 41,23м = 2710,82м;

Y₄+ΔY_ИСПР= 2710,82м + 126,18м = 2837,00м.

---------------------------------------------------------

Контролем правильности вычислений служит получение значений координат исходного пункта X_ST1 = 1275,00м. Y_ST2 = 2837,00м;