Вектор – направленный прямолинейный отрезок,т.е имеет опред длину и направление. Величины,которые определяются числовыми значениями – скалярные.
Длина- или модуль АВ это длина отрезка и обозначается как |AB|. Вектор длина которого равна 1 – единичный вектор. Обознач как е.
Равенство -а и b равны,если они коллинеарны,сонаправлены и имеют одинаковые длины.(равные по другому свободные векторы)
Нуль-вектор - нулевой вектор,ветор длина которого равна 0. Обознач как ноль и палочка сверху
Коллинеарные - если лежат на одной прямой или параллельных прямых,т.е а||b
Компланарные - три вектора в пространстве если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях. Если хотя бы один из них нулевой или два коллинеарны,то такие векторы компланарны.
Орта вектора - единичный вектор,направление которого совпадает с направлением вектора а, обозначается как а и палочка с нулем сверху.
20. Линейные операции над геометрич.векторами.
К ним относят: сложение, вычитание, умножение на число.
Сложение. а+b=ОВ строим треугольник,начало одного вектора совмещая с концом другого(Правило треугольника.). а+b=с строим параллелограмм,совмещая концы векторов. Полученная большая диагональ-сумма этих векторов
Разность. См.правило треугольника,только в этом случае совмещаем концы векторов
Произведение на число(скаляр). Это вектор лямда на, а, равный длине |лямда| на |а|. это произведение коллинеарно вектору, а, имеет направление вектора а если лямда больше нуля и минус а если лямда меньше нуля. Отсюда следуют свойства: каждый вектор равен произведению его модуля на орт и если b=лямда на а,то b||a,наоборот,если b||a,то при некотором лямда верно b=лямда на a. Коллинеарные векторы отдельно см в предыдущему впоросе.
|
|
21. 
Разложение произвольного вектора по ортам коорд осей на плоскости и в пространстве. Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку
Выделем на корд.осях единичные векторы: I,j,k. Выберем произв.вектор а пространства и совместим его начало с началом коорд: а=ОМ. Найдем проекции вектора а на коорд оси.
Проведем через конец вектора ОМ плоскочти,параллельные координатным плоскостям.
Точки пересеч этих плоскостей с осями обозначим через М1,М2,М3. Получим прямоуг парал-пед,одной из диагоналей которого является вектор ОМ. По опред суммы векторв находим: а=ОМ1+M1N+NM. А так как M1N=OM2, NM=OM3,то а=ОМ1+ОМ2+ОМ3. ОМ1=|ОМ1|i и тд. Обозначим проекции вектора на оси|ОМ1|=аy итд. В итоге получается: a=ax на i+ay на j+ az на k.
22. Действия с геометрическими векторами в коорд форме.
Линейные операции. При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты
складываются (вычитаются). а+b=(ах+bx; ay+by; az+bz). При умножении вектора на скаляр
координаты вектора умножаются на этот скаляр. ᵡ а= (ᵡаx; ᵡay;ᵡaz)
Равенство векторов: а и b равны тогда и только тогда,когда выполняется равенство:
ax=bx; ay=by; az=bz.
Координаты вектора: координаты вектора равны разностям соответсвующих координат
его конца и начала.
23. Признак коолинеарности векторов.
Коллинеарность векторов: Проекции коллинеарных векторов пропорциональны,и
наоборот, векторы, имеющие пропорциональные координаты коллинеарны. Док-во:
ax на i + ay на j + az на k = лямда (bx на i + by на j + bz на k) Отсюда: ax= лямда на bx итд.
|
|
Т.е ax\bx=ay\by=az\bz
24. Скалярное произведение геометрических векторов и его св-ва.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов а и b это число,равное произведению
длин этих векторов на косинус угла между ними
Св-ва скалярного произведения:
Переместительное: ab=ba,т.к |a| |b| =|b| |a| и cos (ab)= cos (ba)
Сочетательное: (лямда на а) на b = лямда на (a на b)
Распределительное: a (b+c)=ab+ac
25.. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты, длина
Вектора, расстояние между двумя точками. Вычисление косинуса угла между двумя
Векторами
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Дов-во: а=ах на i+ ay на j+ az на k b=bx на i+by на j+ bz на k
Найдем скалярное произведение перемножая как многочлены. По таблице скалярного
произведения векторов: i на i=1, i на j=0, I на k=0 и тд. В итоге у нас останется:
аb=axbx+ayby+azbz
Длина вектора: это длина отрезка и обозначается как |AB|. Вектор длина которого равна 1
– единичный вектор. Обознач как е. Если рассматривать АВ,где A(x1) и B(x2) точки на
корд прямой,то расстояние АВ=|х2-х1|
Расстояние между двумя точками: на плоскости: АВ= (y1-y2)²+(x1-x2)² все под корнем.
Пусть в системе корд заданы две точки А(х1,у1) и В(х2,у2). Из этих точек опусти
перпендикуляры на ось Ох,из точки В на Оу. |АВ|=АМ²+ВМ² все под корнем. В
пространстве: тоже самое плюс z.
Косинус угла между векторами: cos α=AB на AC\ |AB| на |AC| или ab\ |a| |b|.
26. Каноническое и параметрическое урав прямой в пространстве
Каноническое уравнение прямой: x-x0\ m = y-y0\ n = z-z0\p. Уравнение можно было бы получить сразу из параметрического,исключив параметр t.
|
|
Параметрическое уравнение прямой: х=x0+mt, y=y0+nt, z=z0+pt все в системе. Векторное уравнение прямой,записанное в другом виде. Учитывая,что r=(x,y,z), r0=(x0,y0,z0), tS=(tm,tn,tp).
27. 
Общее урав прямой в пространстве
28. Классификация матриц. Действия с матрицами
· Матрицы называются равными при совпадении у них соответствующих элементов и обозначаются А=В.
· Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной. Квадратную матрицу размера n n называют матрицей n–го порядка.
· Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
· Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е
· Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю.
· Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О.
· Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор – столбец, или вектор - строка).
· Матрица Ат называется транспонированной к А, если в матрице А строки заменены на столбцы соответствующих номеров.
· 
Матрица А -1 называется обратной матрице А, если выполняется условие
· Матрицы называются одноименными, если они имеют одинаковый размер.
Действия с матрицами
Суммой двух матриц одинаковых размеров(а и в) называется матрица того же размера, элементы которой =сумме соответственного элемента матрицы а и в. Аналогично и с разностью.
Произведение А*В не равно В*А
Операции сложения матриц и умножения матриц на число обладают следующими свойствами: А+В=В+А,
А+(В+С)=(А+В)+С,
А-А=0, 1А=А,
с(А+В)=сА+сВ,
(с+х)А=сА+хА,
с(хА)=(сх)А
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Транспонирование матрицы - замена каждой ее строки столбцом с тем же номером. Для транспонирования верны св-ва: (А+В) в степени Т=А в степени Т+В в степени Т; (АВ) в степени Т=В в степени Т на А в степени Т.
Экономический пример
предприятие выпускает три вида продукции С1, С2, С3 и на производство данной продукции использует два вида сырья К1, К2:
где каждый элемент аij показывает, сколько сырья j-того типа может быть израсходовано на производство продукции i-того типа. Стоимость каждого типа сырья задана матрицей-столбцом
а план выпуска продукции задан матрицей-строкой В = (90 130 50).
Таким образом, мы получим: затраты на сырьё
К1 = 4 × 90 + 2 × 130 + 1 × 50 = 670 (единиц),
а стоимость второго сырья
К2 = 3 × 90 + 6 × 130 + 5 × 50 = 1300 (единиц).
Следовательно, общая стоимость сырья
Р = 670 × 60 + 1300 × 40 = 92200 может быть записана в виде матрицы: Р = К × С = (ВА)С = 92200.
29. Определителем матрицы состоящей из одного числа является само это число. Определителем матрицы А= второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а31-22а13-а21а12а33-а32а23а11.
Правило саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус"
Правило звездочки
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус"
30. минор и алгебраическое дополнение элемента определителя.
Минором некоторого элемента определителя n-ного порядка называется определитель n – первого порядка.который получается из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij.
Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется его минор,взятый со знаком плюс если i+j-четное число,и со знаком минус если нечетное. Aij=(-1)в степени i+j умножить на mij.
31. Свойства определителя
· Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот
· При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
· Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
· Общий множитель элементов какого-нибудь ряда определителя можно вынести за знак определителя.
· Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
· Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
· Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
теорема об определителе произведения квадратных матриц-. Определитель матрицы-произведения равен произведению определителей сомножетелей
32. Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.
Матрица называется обратной матрице А,если выполняется условие: А×Ав минус первой степени=Е.(единичная матрица того же порядка)
Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.
Предположим, что для матрицы A существует обратная матрица А-1. Тогда
Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаем
и, следовательно,