Практическая работа №4
2018/2019 уч. г.
Тема. Экспериментальные исследования.
Планирование эксперимента
Цель работы: освоение знаний, умений и приобретение навыков применения планируемого эксперимента при исследовании задач в области конструкторско-технологической подготовки машиностроительных производств.
В результате выполнения заданий практической работы студент должен:
Знать
- методику планирования полного факторного эксперимента и операции обработки его результатов;
Уметь
- составлять матрицу планирования полного факторного эксперимента;
Владеть
- навыками построения математической модели объекта исследования.
Основные теоретические сведения
1.1. Обработка результатов эксперимента вида ПФЭ 2 k
Планирование эксперимента применяется для решения широкого круга задач. К ним относятся такие задачи, как оптимизация процессов, нахождение связей между параметрами и факторами процессов и явлений, проверка справедливости гипотез, изучение кинетики и механизма явлений и процессов и др. Независимо от поставленных задач исследования методика планирования эксперимента является общей и включает в себя следующие этапы (см. тему 4 лекции 1):
- выбор математической модели объекта;
- выбор факторов, определяющих состояние и поведение объекта исследования;
- определение области экспериментирования, основного уровня факторов и интервала их варьирования;
- составление плана эксперимента и последовательности осуществления опытов;
- непосредственная реализация опытов плана эксперимента;
- обработка результатов эксперимента.
Данная практическая работа направлена на освоение методики обработки результатов эксперимента вида ПФЭ 22 с целью построения математической модели объекта исследования
. (1)
Этап обработки результатов эксперимента включает следующие операции:
· оценка дисперсии воспроизводимости (оценка ошибки опыта);
· вычисление выборочных коэффициентов математической модели (уравнения регрессии) и проверку их статистической значимости;
· проверку адекватности математической модели.
Оценка дисперсии воспроизводимости. Оценка дисперсии воспроизводимости опыта заключается в проверке того, что рассеяние результатов параметра y в каждой точке факторного пространства его исследования не превышает некоторой величины. Для этого вначале рассчитываются построчные дисперсии 
, и проверяется их однородность. Построчные дисперсии находят по формуле
, (2)
где 
- среднее арифметическое значение параметра y по результатам m параллельных опытов k -й строки матрицы планирования (k = 1, 2,…, N)
; (3)
u – номер параллельного опыта; yku – значение параметра в u – м параллельном опыте k – й строки матрицы.
В случае, когда число параллельных опытов во всех точках плана одинаково, проверку однородности дисперсий производят с помощью критерия Кохрена[1]. Он равен отношению максимальной построчной дисперсии 
к сумме всех дисперсий 
по N строкам матрицы планирования
.
Если выполняется условие 
, т. е. расчетное значение критерия Кохрена G р меньше теоретического G т, то гипотеза об однородности дисперсий принимается. G т находят по таблице математической статистики, например [1], для чисел степеней свободы f 1 = m -1 и f 2 = N и уровня значимости α. В технических расчетах обычно принимают α = 0,05. В случае не выполнения условия принимают решение либо об увеличении числа параллельных опытов, либо об изменении метода измерения параметра y с целью увеличения точности его измерения.
При известных значениях построчных дисперсий дисперсия воспроизводимости опыта находится как средняя арифметическая 
из построчных дисперсий 
всех N различных вариантов опытов
. (4)
При этом ошибка опыта составит 
.
Вычисление выборочных коэффициентов математической модели (уравнения регрессии). Значения коэффициентов уравнения регрессии (1) вычисляются по формуле
, (5)
где i – номер коэффициента уравнения регрессии, в т. ч. свободного члена и коэффициентов при членах уравнения со смешанными произведениями факторов.
Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии. Для этого находят дисперсию коэффициентов уравнения регрессии по формуле
(6)
с числом степеней свободы f = N (m -1). Из формулы видно, что дисперсии всех коэффициентов одинаковые, т. к. они зависят только от ошибки опыта и числа опытов. Оценку значимости коэффициентов производят с помощью критерия Стьюдента 
, рассчитываемого по формуле
(7)
и проверки условия 
, где 
находят по таблице [1] для числа степеней свободы f = N (m -1) и уровня значимости α (обычно α = 0,05). Если данное условие выполняется, то i -й коэффициент признается значимым. Если для какого-то коэффициента условие не выполняется, то соответствующий фактор признается незначимым, и его исключают из уравнения регрессии.
Оценка адекватности модели. Проверка гипотезы об адекватности полученной модели состоит в определении соотношения между дисперсией адекватности 
и дисперсией воспроизводимости 
. Дисперсия адекватности 
является оценкой отклонения значения 
параметра объекта, предсказанного уравнением регрессии (1), от результатов y эксперимента в различных точках факторного пространства. Ее при равном числе m параллельных опытов находят по формуле:
, (8)
в которой l – число членов в уравнении регрессии, оставшихся после оценки значимости коэффициентов; 
и 
- опытные и теоретические (расчетные) значения параметра y в k – м опыте эксперимента.
Адекватность проверяют, оценивая отношение между дисперсиями и , по критерию Фишера
(9)
Критерий Фишера позволяет проверить нуль-гипотезу о равенстве двух генеральных дисперсий 
и 
. Если вычисленное по выборочным дисперсиям и значение F р критерия Фишера меньше его теоретического значения F т для степеней свободы f ад = N – l и f ср = N (m -1) и заданного уровня значимости α, то нуль-гипотеза принимается. В противном случае гипотеза отвергается, и модель признается неадекватной объекту.
Поскольку по заданию практического занятия осуществляется обработка опытных данных, полученных при исследовании влияния режимов зубофрезерования червячными фрезами на точность цилиндрических зубчатых колес, приведем основные понятия о параметрах точности зубчатых колес и способах их измерения.