1. Находим область определения функции.
2. Исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.
4. Находим промежутки выпуклости и точки перегиба.
5. Находим асимптоты графика функции.
6. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
7. Строим график.
Прежде чем перейти к примерам, напомним определения четности и нечетности функции.
Функция у = f (х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принад-лежит области определения и выполняется равенство f (х) = f (–х). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция у = f (х) называется нечетной для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принадлежит об-ласти определения, и выполняется равенство f (–х) = –f (х). График не-четной функции симметричен относительно начала координат.
Пример 9. Построить график 
.
Решение. Мы используем данные, полученные для этой функции в других примерах.
1. D (у) = (–¥; 0) È (0; +¥).
2. 
Следовательно, функция нечетная. Ее график будет симметричен относительно начала координат.
3. (см. пример 2). Исследуем функцию на монотонность и экстремум:
| х | (–¥; –1) | –1 | (–1; 0) | (0; 1) | (1; +¥) | ||
| у' | + | – | – | – | + | ||
| у | 
| –2 | 
| – | 
|
|
max min
4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба.
| х | (–¥; 0) | (0; +¥) | |
| у'' | – | – | + |
| у | выпукла вверх | – | выпукла вниз |
| функция не определена |
Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не определена.
5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции:
а) х = 0 – вертикальная асимптота;
б) у = х – наклонная асимптота.
6. Точек пересечения с осями координат у данной функции нет, так как 
, при любых х Î ú, а х = 0 Ï D(у).
7. По полученным данным строим график функции:
Пример 10. Построить график функции 
.
Решение.
1. D(у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥).
2. 
– функция нечетная. Следовательно, график функции будет симметричен относительно начала координат.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:
3х2 – х4 = 0, х2 · (3 – х2) = 0, х1 = 0, х2 = 
, х3 = 
.
| х | (–¥;  )
| 
| (; 0)
| –1 | (–1; 0) | (0; 1) | (1;  )
| 
| (; +¥)
| ||
| у' | – | + | – | + | + | – | + | – | |||
| у | 
| 2,6 | 
| – | 
| 
| – | 
| –2,6 | 
|
4. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба:
х = 0 – точка, подозрительная на перегиб.
| х | (–¥; –1) | –1 | (–1; 0) | (0; 1) | (0; +¥) | ||
| у'' | + | – | – | + | – | – | |
| у | выпукла вниз | – | выпукла вверх | выпукла вниз | – | выпукла вниз | |
| перегиб |
5. Найдем асимптоты функции:
а) х = –1, х = 1 – вертикальные асимптоты.
Действительно:
б) у = kx + b.
,
Þ у = –1х + 0 = – х – наклонная асимптота.
6. Найдем точки пересечения с осями координат:
х = 0 Þ у = 0 Þ (0; 0) – точка пересечения с осями координат.
7. Строим график:
ЛИТЕРАТУРА
1. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения.– Мн.: Тетрасистемс, 1998. – 415 с.
2. Минченков Ю. В. Высшая математика. Производная функции. Дифференциал функции: Учебно-методическое пособие.– Мн.: ЧИУиП, 2007.– 20 с.