Библиографический список. Решение задачи

Решение задачи

Вывод

Библиографический список

 

Введение

 

Цель работы - ознакомление студентов с одним из методов оптимизации производственной программы предприятия, приобретение практических навыков выбора наилучшего решения из множества вариантов.

 

1. Организационно-экономическая сущность задачи

 

Производственная программа - это задание по производству и реализации определенного количества продукции установленной номенклатуры и качества.

Номенклатурой продукции называется классифицированный перечень изделий, выпускаемых предприятием. Задания по количеству выпускаемой продукции устанавливаются исходя из народнохозяйственных потребностей в продукции определенного вида, а также имеющихся производственных ресурсов.

Производственная программа занимает ведущее место среди показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятия. На ее основе определяется потребность в материально-технических и трудовых ресурсах, величина дохода и прибыли, получаемых предприятием, уровень рентабельности.

В условиях перехода к рыночной экономике целью деятельности каждого экономического субъекта становится максимизация его доходов и прибылей. Величина получаемого предприятием дохода непосредственно зависит от номенклатуры и объема выпускаемой продукции.

Показатели производственной программы устанавливаются в натуральном и в стоимостном выражении. Натуральные показатели определяют объем производства каждого вида продукции. На этой основе рассчитывается объем производства в денежном выражении по показателям товарной, валовой и реализованной продукции и возможная величина дохода предприятия.

Товарная продукция характеризует объем продукции, предназначенной для реализации на сторону, своему капитальному строительству и для непромышленных нужд и включает стоимость готовых изделий, стоимость полуфабрикатов, выработанных основным и вспомогательным производствами и предназначенных к продаже, стоимость работ, выполняемых по заказам со стороны.

Валовая продукция - это общий объем производства на предприятии, определяется как товарная продукция с учетом изменения остатков незавершенного производства.

Реализованная продукция определяется как стоимость предназначенных к отгрузке и подлежащих оплате в рассматриваемом периоде готовых изделий, полуфабрикатов и услуг; определяется как объем товарной продукции с учетом изменения остатков готовой продукции на складах и неоплаченных остатков готовой продукции.

 

2. Оптимизация производственной программы

 

Задача оптимизации производственной программы может быть сформулирована в двух вариантах:

определение производственной программы, позволяющей получить наилучший результат (максимальный доход, прибыль) при заданных объемах ресурсов;

определение производственной программы, обеспечивающей получение заданного объема производства при наименьших затратах.

 

3. Математическая постановка задачи и метод её решения

Формализация задачи

 

Пусть - нормативная трудоемкость изготовления одного изделия j-го типа (чел.-час);

- нормативная металлоемкость одного изделия j-го типа (кг);

в₁ - суммарная трудоемкость производственной программы предприятия (чел.-час);

в₂ - суммарная металлоемкость производственной программы предприятия (кг);

С_j - отпускная цена одного изделия j- го типа (руб.);

Х_j - объем производства (количество) изделий j-го типа (шт.); j = 1, 2, 3.

Необходимо определить оптимальную производственную программу предприятия Х⁰ = ( ), т.е. такое распределение объемов производства Х = ( ), при котором достигается наибольший доход:

 

+ + = max ( + + ),

( ).

 

При ограничениях на трудоемкость и металлоемкость:

 

+ + = ;

+ + = .

 

В настоящей работе мы будем предполагать следующее:

- нормы трудоемкости и металлоемкости строго положительны:

 

> 0; i = 1,2; j = 1,2,3;

 

объемы производства неотрицательны 0, 0, 0, так что если = 0, то изделие j-го типа не включается в производственную программу, i = 1, 2, 3;

оптимальная производственная программа ( ), где 0, 0, 0 существует, т.е. ограничения трудоемкости и металлоемкости сбалансированы;

ограничения по трудоемкости и металлоемкости независимы в том смысле, что линейно независима любая пара из векторов (, ), (, ), (, ).

В контрольном примере, рассмотренном ниже, а также во всех вариантах заданий, указанные предположения выполняются в реальных производственных программах.

 

Метод решения

 

В пространстве переменных ( ) каждое из ограничений вида + + = по трудоемкости или металлоемкости определяет плоскость , проходящую через точки:

 

( = / , = 0, = 0) ,

( = 0, = / , = 0) ,

( = 0, = 0, = / ) ,= 1, 2.

Пример изображения этих плоскостей приведен на рис. 1.

Точки, лежащие на линии пересечения плоскостей и , удовлетворяют ограничениям по трудоемкости и металлоемкости одновременно. При этом линия пересечения существует в силу принятого предположения об отсутствии взаимной зависимости ограничений.

Наконец, условия 0, 0, 0 определяют отрезок линии пересечения плоскостей и , лежащий между координатными плоскостями. Такой отрезок тоже существует в силу сбалансированности ограничений. Точки отрезка (и только они) удовлетворяют всем ограничениям и предположениям, принятым в задаче.

Целевая функция y = + + является линейной по переменным ( ) и, следовательно, достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах построенного отрезка, один из которых и является решением задачи.

 

Решение задачи

 

Приведем пример оптимизации производственной программы предприятия при ограничениях на трудоемкость и металлоемкость.

Нормы трудоемкости изготовления трех изделий имеют значения:

 

= 2,2 (чел.-час); = 0,8 (чел.-час); = 0,2 (чел.-час),

 

а нормы металлоемкости тех же изделий - значения:

 

= 7 (кг); = 0,8 (кг); = 5 (кг).

 

Суммарная трудоемкость производственной программы определяется

= 8800 (чел.-час),

 

а суммарная металлоемкость -

 

= 28000 (кг).

 

Изделия отпускаются с предприятия по ценам за штуку:

 

= 20000 (руб); = 6000 (руб); = 12000 (руб).

 

Задача оптимизации производственной программы предприятия может быть сформулирована следующим образом: указать производственную программу (распределение объемов производства изделий) ( ), при выполнении которой достигается наибольшее значение дохода предприятия:

= 20000 + 6000 + 12000 ;

,2 + 0,8 + 0,2 = 8800;

+ 0,8 + 5 = 60000;

0, 0, 0.

 

В пространстве переменных ( ) первое из ограничений (по трудоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:

 

( = 8800/2,2= 4000, = 0, = 0) ;

( = 0, = 8800/0,8 = 11000, = 0) ;

( = 0, = 0, = 8800/0,2 = 44000) .

Графическое изображение этой плоскости приведено на рис. 1.

Второе ограничение (по металлоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:

 

( = 28000/7 = 4000, = 0, = 0) ;

( = 0, = 28000/0,8 = 35000, = 0) ;

( = 0, = 0, = 28000/5 = 5600) .

 

Плоскость также изображена на рис. 1.

Из графического изображения плоскостей-ограничений вытекает следующее:

линия пересечения плоскостей-ограничений существует и пересекает координатные плоскости = 0, = 0, = 0 в точках соответственно. Ограничения трудоемкости и металлоемкости линейно независимы;

условия 0, 0, 0 определяют отрезок линии пересечения, лежащей между координатными плоскостями = 0, = 0, а конец этого отрезка суть точки и . Следовательно, оптимальная производственная программа существует (ограничения по трудоемкости и металлоемкости сбалансированы) и реализуется либо в точке , либо в точке ;

точка содержит отрицательную вторую компоненту и производственной программой служить не может.

 

 

Находим координаты точки = ( ) решая систему уравнений:

 

 

Получаем:

 

= 0;

= (8800*5 - 0,2*28000)/(0,8*5 - 0,2*0,8) = 10000;

= (0,8*28000 - 8800*0,8)/(0,8*5 - 0,2*0,8) = 4000.

 

Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :

 

= 6000*10000 + 12000*4000 =108000000.

 

Находим координаты точки = ( ), решая систему уравнений:

 

 

Получаем:

 

= (8800*5 - 0,2*28000)/(2,2*5 - 0,2*7) = 4000;

= 0;

= (2,2*28000 - 8800*7)/(2,2*5 - 0,2*7) = 0.

 

Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :

 

= 20000*4000 + 6000*0 = 80000000.

 

При вычислении координат точки = ( ) путем решения системы уравнений

 

получаем:

 

= (8800*0,8 - 0,8*28000)/(2,2*0,8 - 0,8*7) = 4000;

= (2,2*28000 - 8800*7)/(2,2*0,8 - 0,8*7) = 0;

= 0.

 

Значение второй компоненты отрицательное, что ранее было замечено (см. рис. 1). В этом случае значение целевой функции можно вычислить:

 

=20000*4000 - 12000*0 = 80000000,

 

но согласно алгоритму решения задачи мы полагаем доход предприятия равным нулю, = 0.

Расположим полученные значения целевой функции в порядке возрастания:

 

≤ = < .

=108000000; = =80000000

 

Можно видеть, что значение целевой функции второй и третей производственных программ равны. Опуская дробные части в значениях объемов производства, приходим к выводу:

объем производства первого типа изделий не следует включать в оптимальную производственную программу предприятия -

 

= 0;

- изделия второго типа запланировать в количестве

 

= 10000 (шт.);

 

объем производства изделий третьего типа запланировать в количестве

 

= 4000 (шт.).

 

При этом предприятие получит наибольший возможный доход:

 

= 6000*10000 + 12000*4000 = 108000000 (руб.), т.е. 108 млн. руб.

 

Или:

объем производства изделий первого типа запланировать в количестве

 

= 4000 (шт.);

 

изделия второго типа не следует включать в оптимальную производственную программу предприятия -

 

= 0;

 

объем производства изделий третьего типа запланировать в количестве

 

= 0 (шт.).

При этом предприятие получит наибольший возможный доход:

 

= 4000*12000 + 0 = 48000000 (руб.), т.е. 48 млн. руб.

 

Незначительным резервом трудоемкости и остатком металла, получающимися в результате опускания дробных частей в значениях объемов производства, по существу задачи можно пренебречь.

Результаты расчетов представим в виде таблицы 1.

 

Таблица 1 Оптимальная производственная программа предприятия

Тип изделия
Объем производства, шт.
Доход предприятия, руб.

 

Вывод

 

При определении оптимальной производственной программы в результате расчётов был получен максимальный доход 144 млн. руб., которому соответствует первая производственная программа.

По первой, объем производства продукции второго типа составляет 12000 шт., продукции третьего типа -10000 шт., а продукция первого типа не должна быть включена в оптимальную производственную программу предприятия.

По второй, объем производства продукции первого типа составляет 12000 шт., продукции третьего типа -5000 шт., а продукция второго типа не должна быть включена в оптимальную производственную программу предприятия.

 

Библиографический список

производственный программа оптимизация доход

1. Экономика машиностроительного производства / Под ред. И.Э. Берзиня и В.П.Калинина. - М.: Высшая школа, 1988.

. Экономика автомобильной промышленности и тракторостроения / Под ред. А.А. Невелева и В.И. Козырева. - М.: Высшая школа, 1989.

. В.Г. Карманов. Математическое программирование. - М.: Наука, 1975.

. Т. Ху. Целочисленное программирование и потоки в сетях. - М.: Мир, 1974.