30 октября
938 прочитали
Энтропия относится к самым неоднозначным концепциям фундаментальной физики
Начнем с аналогии. Представьте, что вы энергично трясете мешочек с сотней монет, а затем высыпаете их на обеденный стол. Если бы при этом вы обнаружили, что все монеты выпали орлом, то наверняка удивились бы. Но почему? Это кажется очевидным, но на самом деле тут полезно как следует подумать. Отсутствие на столе даже одной-единственной решки означает, что каждая из сотни монет, случайным образом, должна была лечь на стол орлом кверху. Все без исключения. Получение такого уникального результата – трудная задача. Сравните: если мы рассмотрим хотя бы чуть иной результат – скажем, на столе одна решка (а остальные 99 монет по-прежнему лежат орлом), то для получения такой ситуации существует 100 разных способов: этой единственной решкой может стать первая монета, или вторая, или третья и так далее вплоть до сотой. Таким образом, получить 99 орлов в 100 раз проще – этот исход в 100 раз более вероятен, – чем получить 100 орлов.
Продолжим. Нетрудно прийти к выводу, что существует 4950 различных вариантов получить две решки (решками падают первая и вторая монеты; первая и третья; вторая и третья; первая и четвертая и так далее). Еще немного рассуждений – и мы обнаруживаем, что существует 161 700 различных вариантов выпадения 3-х решек, почти 4 млн способов выпадения 4-х решек и примерно 75 млн вариантов выпадения 5-ти решек. Каждая дополнительная решка на столе сильно увеличивает число вариантов, удовлетворяющих условию. Феноменально сильно. Число вариантов максимально при 50 решках (и 50 орлах), для которых существует приблизительно сто миллиардов миллиардов миллиардов возможных комбинаций (точнее, 100 891 344 545 564 193 334 812 497 256). Следовательно, выпадение 50 орлов и 50 решек примерно в сто миллиардов миллиардов миллиардов раз более вероятно, чем получение всех орлов. Именно поэтому выпадение всех орлов стало бы для нас шоком.
|
|
Большинство из нас интуитивно анализирует набор монет – примерно так же, как Максвелл и Больцман призывали анализировать емкость с паром. Точно так же, как ученые отказались рассматривать пар молекула за молекулой, мы также, не оцениваем случайный набор одинаковых монет монета за монетой. Мы не обращаем внимания – что 29-я монета легла орлом кверху, а 71-я – решкой. Вместо этого мы смотрим на набор монет в целом. И нам важно число выпавших орлов в сравнении с числом решек: на столе больше орлов, чем решек, или решек, чем орлов? Вдвое больше? Втрое больше? Примерно одинаково? Мы заметим значительное изменение в соотношении орлов и решек, но случайные перестановки, сохраняющие это соотношение, – скажем, если перевернуть 23-ю, 46-ю и 92-ю монеты с решки на орла и одновременно перевернуть 17-ю, 52-ю и 81-ю с орла на решку, – выглядят практически одинаково. Вследствие этого можно разбить все возможные исходы на группы, в каждой из которых конфигурации монет выглядят одинаково, и подсчитать населенность каждой группы, то есть число исходов вообще без решек, с одной решкой, с двумя решками и так далее, вплоть до числа исходов с 50 решками.
Главное здесь – понять, что эти группы имеют не одинаковое число членов. Даже близко не одинаковое. И тогда становится очевидно, почему вас шокирует выпадение при случайном броске одних только орлов (в этой группе ровно один член), чуть меньше шокирует выпадение при случайном броске одной решки (группа со 100 членами), еще чуть меньше шокирует обнаружение двух решек (группа с 4950 членами), но бросок, давший половину орлов и половину решек, заставит вас только зевнуть (в этой группе сто миллиардов миллиардов миллиардов членов). Чем больше элементов в заданной группе, тем с большей вероятностью случайный бросок даст результат, относящийся именно к этой группе. Размер группы имеет значение.
|
|
Это иллюстрация важной концепции энтропии. Энтропия заданной конфигурации монет – это размер соответствующей группы, число конфигураций, практически неотличимых от заданной. Если похожих конфигураций много, данная конфигурация имеет высокую энтропию, если мало – низкую. При прочих равных условиях результат случайного броска скорее попадет в группу с высокой энтропией, поскольку в этой группе больше членов.
Интуитивно беспорядочные конфигурации (представьте себе письменный стол, хаотически заваленный документами, ручками и скрепками) обладают высокой энтропией, потому что предметы в них можно организовать множеством способов, при которых итоговая раскладка будет выглядеть практически одинаково; если случайным образом переложить беспорядочную конфигурацию, она все равно будет выглядеть беспорядочной. Упорядоченные конфигурации (представьте безупречно чистый стол, на котором все документы, ручки и скрепки аккуратно разложены по местам) обладают низкой энтропией, поскольку существует очень немного вариантов раскладки вещей, при которых вся система будет выглядеть так же. Как и в случае с монетами, высокая энтропия выглядит привлекательно, потому что беспорядочных раскладок гораздо больше, чем упорядоченных.
|
|
Разбивка по группам схожих конфигураций – это необычайно мощный подход. Случайным образом брошенные монеты с большей вероятностью попадают в группу с бóльшим количеством членов (с более высокой энтропией),
Вероятность столкнуться с высокоэнтропийными состояниями всегда выше. Поскольку такие состояния могут быть реализованы огромным числом различных комбинаций составляющих систему частиц, они типичны, заурядны, легко воспроизводимы и встречаются на каждом шагу. Напротив, если вам вдруг встретится какое-нибудь низкоэнтропийное состояние, на него следует обратить внимание. Низкая энтропия означает, что существует гораздо меньше способов получить заданное макросостояние из его микроскопических ингредиентов, поэтому такие конфигурации найти трудно, они необычны, тщательно организованы и редки. Точно так же, как вы наверняка заподозрили бы неладное, увидев на столе 100 монет орлом кверху (вы заподозрили бы, к примеру, что кто-то специально перевернул все монеты, выпавшие решкой). При встрече с любой низкоэнтропийной конфигурацией следует искать какое-то неслучайное объяснение.