Лекция 7.
ПЛАКАТ 1,2,3
Устойчивость.
Известно, что равновесие тела может быть устойчивым и неустойчивым, например шар, лежащий на поверхности.
Аналогичные примеры можно привести и из области равновесия деформирующихся тел, например длинный стержень при действии сжимающей силы.
 |
Упругое равновесие устойчиво, если деформированное тело при малом отклонении от состояния равновесия возвращается к нему при прекращении внешнего воздействия нарушившего равновесие.
Переход тела (системы) из устойчивого состояния в неустойчивое называют потерей устойчивости, а границу этого перехода – критическим состоянием тела (системы).
Нагрузка, при которой заданная форма равновесия перестает быть устойчивой – называется критической.
Достижение нагрузками критических значений приводит к потере устойчивости – неограниченному росту деформаций и напряжений.
Поэтому при сжатии стержней малой жесткости условие прочности должно быть дополнено условием устойчивости:
(7.1)
или 
(7.2)
где, ηу – коэффициент запаса устойчивости.
ПЛАКАТ 4
Определение критической силы (вывод формулы Эйлера).
Необходимо найти силу F, которая в состоянии изогнуть прямую балку. Допустим прямая балка под действием силы F изогнулась.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:
E·I·y''=МХ;
MХ= – F·y;
E·I·y''= – F·y;
или 
обозначим 
, тогда
y''+k2·у=0
Полный интеграл этого уравнения (общее решение):
у=C1·cos (k·z)+C2·sin (k·z)
где: С1,С2 – постоянные интегрирования, найдем из условий закрепления:
1. при z=0, y=0
0= С1·cos 0+C2·sin 0 => C1=0, т.к. cos 0=1
2. при z=l, y=0
0= C2·sin k·l
С2≠0 иначе у=0, т.е. стержень бы остался прямым.
Следовательно sin (k·l)=0, это возможно только
при k·l=0, π, 2π…n·π где n – любое целое число.
следовательно k·l=n·π,.
; 
; 
;
ПЛАКАТ 5
Fкр=Fmin при n=1 I=Imin
- формула Эйлера (7.3)
При этом балка изогнется по полуволне синусоиды:
Величина критической силы зависит от:
1. упругих свойств материала Е;
2. формы и размеров сечения Imin;
3. длины стержня l;
4. условий закрепления.
При других случаях закрепления пользуются обобщенной формулой Эйлера:
(7.4)
где μ · l – приведенная длина стержня;
μ – коэффициент приведения длины, зависящий от условий закрепления.
 | |||||
 | |||||
 | |||||
ПЛАКАТ 6
Пределы применимости формулы Эйлера.
Под действием критической силы Fкр в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, которые называют критическими.
(7.5)
обозначим 
– наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня. Тогда
Величина 
– характеризует влияние размеров и способа закрепления стержня. Она называется гибкостью стержня (величина безразмерная).
(7.6)
Критическое напряжение зависит от упругих свойств материала Е и гибкости λ стержня.
При выводе формулы Эйлера предполагали, что деформации в стержне только упругие, т.е.
σкр≤ σпр – предел пропорциональности,
т.е. 
отсюда 
(7.7)
ПЛАКАТ 7
λпред - наименьшее (предельное) значение гибкости, при котором применима формула Эйлера.
Формула Эйлера применима, если:
1. σкр≤σпр;
2. λ > λпред
для малоуглеродистой стали λ≥ λпред=100;
для чугуна λ≥ λпред= 80;
для сосны λ≥ λпред=110.
Если гибкость меньше предельного значения, то пользоваться формулой Эйлера нельзя, т.к. в этом случае получаем завышенные значения критической силы и действительная устойчивость переоценивается.
В этих случаях пользуются эмпирической формулой Ясинского:
σкр=а – в·λ (7.7)
где а и в – коэффициенты, зависящие от материала, приводятся в таблицах, размерность МПа.
При гибкости λ<40 стержни можно рассчитывать на прочность без учета опасности потери устойчивости.
Практические расчеты на устойчивость.
ПЛАКАТ 8
В инженерной практике при расчете сжатых стержней вместо формул Эйлера и Ясинского при любой гибкости пользуются следующей зависимостью:
(7.9)
где: [σ]у – допускаемое напряжение на устойчивость;
[σ]с – допускаемое напряжение на сжатие;
φ – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения на сжатие или коэффициент продольного изгиба. Зависит от материала и гибкости стержня и приводится в таблицах.
При проверочном расчете исходя из размеров и формы поперечного сечения находят Imin, А вычисляют imin= 
и гибкость 
.
Затем, зная гибкость и материал, по таблицам находят φ и проверяют условие устойчивости:
ПЛАКАТ 9
При проектном расчете из условия устойчивости определяют сечение:
(7.10)
где А и φ – неизвестны.
Для подбора сечений применяется метод последовательных приближений.
1. Задаются величиной коэффициента φ=0,5÷0,6;
2. По формуле (7.10) определяют площадь и подбирают сечение;
3. Для выбранного сечения определяют Imin, imin и λ;
4. Для этой гибкости и выбранного материала по таблице определяют величину коэффициента φ';
5. Подставляя найденное значение φ' в условие устойчивости находят напряжение:
;
6. Если полученное напряжение отличается от допускаемого более чем на (+5%), (-10%) повторяют расчет приняв:
φ''=0,5·(φ+ φ')
Обычно удается обойтись двумя-тремя попытками.
ПЛАКАТ 10