Определение 2.1 Пусть и
--- конгруэнции на алгебре
. Тогда
централизует
(записывается:
), если на
существует такая конгруэнция
, что:
1) из
всегда следует
2) для любого элемента
всегда выполняется
3) если
то
Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие .
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом, сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1 Пусть . Тогда:
1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;
2) ;
3) если
то
Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре
всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая
. Она называется централизатором конгруэнции
в
и обозначается
.
В частности, если , то централизатор
в
будем обозначать
.
Лемма 2.2 Пусть ,
--- конгруэнции на алгебре
,
,
,
. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) ;
2) , где
;
3) если выполняется одно из следующих отношений:
4) из всегда следует
Доказательство:
1) Очевидно, что --- конгруэнция на
, удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и
.
2) --- конгруэнция на
, удовлетворяющая определению
2.1. Значит
3) Пусть .
Тогда
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что
Тогда получим
т.е.
Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).
4) Пусть
Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно,
где --- мальцевский оператор.
Тогда
то есть .
Так как
то .
Таким образом . Лемма доказана.
Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.
|
Лемма. 2.3 Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ
, является конгруэнцией на алгебре
.
Доказательство:
Пусть
Тогда из
следует, что
Аналогичным образом из
получаем, что
Итак, симметрично и транзитивно. Лемма доказана.
Лемма 2.4 Пусть . Тогда
для любой конгруэнции
на алгебре
.
Доказательство:
Обозначим и определим на алгебре
бинарное отношение
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
где
Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что --- конгруэнция на алгебре
, причем
Пусть
то есть
Тогда
и, значит
Пусть, наконец, имеет место
Тогда справедливы следующие соотношения:
применяя мальцевчкий оператор к этим трем соотношениям, получаем
Из леммы 2.2 следует, что
Так как то
Значит,
Но , следовательно,
.
Итак,
и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5 Пусть ,
--- конгруэнции на алгебре
,
и
--- изоморфизм, определенный на
.
Тогда для любого элемента отображение
определяет изоморфизм алгебры
на алгебру
, при котором
.
В частности, .
Доказательство.
Очевидно, что --- изоморфизм алгебры
на алгебру
, при котором конгруэнции
,
изоморфны соответственно конгруэнциям
и
.
Так как
то определена конгруэнция
удовлетворяющая определению 2.1.
Изоморфизм алгебры
на алгебру
индуцирует в свою очередь изоморфизм
алгебры
на алгебру
такой, что
для любых элементов и
, принадлежащих
. Но тогда легко проверить, что
--- конгруэнция на алгебре
, изоморфная конгруэнции
.
Это и означает, что
Лемма доказана.
Определение 2.2 Если и
--- факторы на алгебре
такие, что
то конгруэнцию
обозначим через
и назовем централизатором фактора
в
.
|
Определение 2.3 Факторы и
назыавются перспективными, если либо
либо
Теорема Пусть ,
,
,
--- конгруэнции на алгебре
. Тогда:
1) если , то
2) если , то
3) если ,
и факторы
,
перспективны, то
4) если - конгруэнции на
и
, то
где ,
.
Доказательство.
1) Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и
, то
2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что
а в силу леммы 2.4 получаем, что
Пусть - изоморфизм
. Обозначим
По лемме 2.5 , а по определению
Следовательно,
3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции и
на алгебре
имеет место равенство
Покажем вналале, что
Обозначим . Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре
существует такая конгруэнция
, что выполняются следующие свойства:
а) если , то
б) для любого элемента ,
в) если
то
Построим бинарное отношение на алгебре
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и
Покажем, что --- конгруэнция на
.
Пусть
для . Тогда
и
Так как --- конгруэнция, то для любой
-арной операции
имеем
Очевидно, что
и
Следовательно,
Очевидно, что для любой пары
Значит,
Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на
. Покажем теперь, что
удовлетворяет определению 2.1, то есть
централизует
. Пусть
Тогда
Так как ,
и
, то
. Следовательно,
удовлетворяет определению 2.1.
Если , то
значит,
Пусть, наконец, имеет место (1) и
Тогда
Так как и
, то
, следовательно,
. Из (2) следует, что
, а по условию
. Значит,
и поэтому
Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, то есть
централизует
.
|
Докажем обратное включение.
Пусть
Тогда на алгебре определена конгруэнция
удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение
на алгебре
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и ,
.
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция на алгебре
. Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что
. Покажем поэтому, что
централизует
.
Так как
то
то есть удовлетворяет условию 1) определения 2.1.
Если , то
следовательно,
Пусть имеет место (3) и .
Так как
то
Из (4) следует, что , следовательно,
то есть
На основании леммы 2.2 заключаем, что
Следовательно, .
А так как , то
, то есть
4) Обозначим . Пусть
и удовлоетворяет определению 2.1.
Определим бинарное отношение на
следующим образом
тогда и только тогда, когда
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.
Это и означает, что
Теорема доказана.
Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.