Определение 2.1 Пусть 
и 
--- конгруэнции на алгебре 
. Тогда 
централизует (записывается: 
), если на существует такая конгруэнция 
, что:
1) из 
всегда следует 
2) для любого элемента 
всегда выполняется 
3) если 
то 
Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие 
.
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом, сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1 Пусть . Тогда:
1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;
2) 
;
3) если 
то 
Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции 
на алгебре 
всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции 
в и обозначается 
.
В частности, если 
, то централизатор 
в будем обозначать 
.
Лемма 2.2 Пусть 
, 
--- конгруэнции на алгебре , 
, 
, 
. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) 
;
2) 
, где 
;
3) если выполняется одно из следующих отношений:
4) из 
всегда следует 
Доказательство:
1) Очевидно, что 
--- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и 
.
2) 
--- конгруэнция на , удовлетворяющая определению
2.1. Значит 
3) Пусть 
.
Тогда 
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор 
такой, что 
Тогда получим 
т.е. 
Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).
4) Пусть 
Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно, 
где 
--- мальцевский оператор.
Тогда 
то есть 
.
Так как 
то 
.
Таким образом 
. Лемма доказана.
Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.
Лемма. 2.3 Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ 
, является конгруэнцией на алгебре 
.
Доказательство:
Пусть 
Тогда из 
следует, что 
Аналогичным образом из 
получаем, что 
Итак, 
симметрично и транзитивно. Лемма доказана.
Лемма 2.4 Пусть 
. Тогда 
для любой конгруэнции 
на алгебре 
.
Доказательство:
Обозначим 
и определим на алгебре 
бинарное отношение 
следующим образом: 
тогда и только тогда, когда 
где 
Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что 
--- конгруэнция на алгебре 
, причем 
Пусть 
то есть 
Тогда 
и, значит 
Пусть, наконец, имеет место 
Тогда справедливы следующие соотношения:
применяя мальцевчкий оператор 
к этим трем соотношениям, получаем 
Из леммы 2.2 следует, что 
Так как 
то 
Значит, 
Но 
, следовательно, 
.
Итак, 
и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5 Пусть 
, --- конгруэнции на алгебре 
, 
и 
--- изоморфизм, определенный на .
Тогда для любого элемента 
отображение 
определяет изоморфизм алгебры 
на алгебру 
, при котором 
.
В частности, 
.
Доказательство.
Очевидно, что 
--- изоморфизм алгебры на алгебру 
, при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям 
и 
.
Так как 
то определена конгруэнция 
удовлетворяющая определению 2.1.
Изоморфизм алгебры на алгебру 
индуцирует в свою очередь изоморфизм 
алгебры 
на алгебру 
такой, что
для любых элементов 
и 
, принадлежащих . Но тогда легко проверить, что 
--- конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции 
.
Это и означает, что 
Лемма доказана.
Определение 2.2 Если 
и 
--- факторы на алгебре такие, что 
то конгруэнцию 
обозначим через 
и назовем централизатором фактора в .
Определение 2.3 Факторы и 
назыавются перспективными, если либо 
либо 
Теорема Пусть , , , --- конгруэнции на алгебре . Тогда:
1) если 
, то 
2) если 
, то 
3) если , 
и факторы , перспективны, то 
4) если 
- конгруэнции на и 
, то 
где 
, 
.
Доказательство.
1) Так как конгруэнция 
централизует любую конгруэнцию и 
, то 
2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что 
а в силу леммы 2.4 получаем, что 
Пусть 
- изоморфизм 
. Обозначим
По лемме 2.5 
, а по определению 
Следовательно, 
3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции 
и 
на алгебре имеет место равенство 
Покажем вналале, что 
Обозначим 
. Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре 
существует такая конгруэнция 
, что выполняются следующие свойства:
а) если 
, то 
б) для любого элемента 
, 
в) если 
то 
Построим бинарное отношение на алгебре 
следующим образом: 
тогда и только тогда, когда 
и 
Покажем, что --- конгруэнция на .
Пусть 
для 
. Тогда 
и 
Так как 
--- конгруэнция, то для любой 
-арной операции 
имеем
Очевидно, что 
и 
Следовательно, 
Очевидно, что для любой пары 
Значит, 
Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, то есть 
централизует 
. Пусть 
Тогда 
Так как 
, 
и 
, то 
. Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.
Если , то 
значит, 
Пусть, наконец, имеет место (1) и 
Тогда 
Так как 
и 
, то 
, следовательно, 
. Из (2) следует, что 
, а по условию 
. Значит, 
и поэтому
Тем самым показано, что конгруэнция 
удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует .
Докажем обратное включение.
Пусть 
Тогда на алгебре 
определена конгруэнция 
удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение 
на алгебре 
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и 
, 
.
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что 
централизует .
Так как 
то 
то есть удовлетворяет условию 1) определения 2.1.
Если 
, то 
следовательно, 
Пусть имеет место (3) и .
Так как 
то 
Из (4) следует, что 
, следовательно, 
то есть 
На основании леммы 2.2 заключаем, что 
Следовательно, 
.
А так как , то 
, то есть 
4) Обозначим 
. Пусть 
и удовлоетворяет определению 2.1.
Определим бинарное отношение на 
следующим образом
тогда и только тогда, когда
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.
Это и означает, что 
Теорема доказана.
Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.