Полярная система координат.

П. 4. 1. Системы координат

1) Декартова система координат. (см. стр.28-29 лекции 4)

Существуют различные способы задания точек набором координат. Аналитическая гео­метрия опирается на простейшую систему координат — прямоугольную, которая известна из школьного курса математики. Существуют системы координат более общего вида, в которой оси координат могут находиться по отношению друг к другу под произвольным углом. Прямоугольная система координат будет частным случаем, когда углы между осями координат будут прямыми.

Назовем декартовой (аффинной) системой координат пару, состоящую из фиксиро­ванной точки O и некоторого базиса. Соответственно трем пространствам получаем три варианта декартовой системы координат: на прямой, на плоскости и в пространстве. Де­картовыми (аффинными) координатами произвольной точки M являются координаты вектора в заданном базисе.

С декартовой системой координат связаны следующие понятия:

- начало (системы) координат — точка O в составе декартовой системы координат;

- репер — базис в составе декартовой системы координат, для векторов которого выбира­ется общая точка приложения в начале координат;

- оси координат (координатные оси) — прямые, на которых лежат векторы репера, зада­ющие направление на этих прямых. Оси имеют специальные названия (в порядке нумерации): ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат. Координаты точки именуются по осям: абс- абсцисса, ордината и аппликата. На плоскости отсутствует ось аппликат, на прямой также нет оси ординат.

- координатные плоскости — плоскости, определяемые парами векторов репера. По­нятие используется для декартовой системы координат в пространстве;

- радиус-вектор точки M — вектор , соединяющий начало координат O с этой точкой.

Декартову систему координат общего вида часто называют косоугольной системой ко­ординат.

Если репер декартовой системы координат является ортонормированным базисом, то та­кую систему координат называют декартовой прямоугольной системой координат, или просто прямоугольной системой координат, а декартовы координаты точки — ее прямоугольными координатами.

Далее будем использовать в основном прямоугольные системы координат, т.е. будем предпо­лагать, что репер представляет собой ортонормированный базис, причем обязательно правый. Отметим, что базис в (т.е. на плоскости) называют правым (левым), если первый его век­тор совмещается со вторым с помощью кратчайшего поворота против хода (по ходу) часовой стрелки.

Итак, под системой координат подразумевается прямоугольная система координат с правым базисом, а под координатами точки — ее прямоугольные координаты. Для обо­значения декартовых систем координат, например в пространстве, будем использовать обозна­чения типа O ijk, где O — начало системы координат, а i, j, k — ортонормированный репер (базис), или Oxyz, где указаны обозначения для координатных осей.

Полярная система координат.

Пример. Найти полярные координаты точки М(-1, - )

(Разобрать построение окружности, заданной в полярных корд.)

Построение точки М в полярной системе координат: вначале строим угол, а затем на луче откладываем радиус.