Задачи контрольных работ

Задачи №1-10.

1. В ящике 7 белых и 9 черных шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета.

2. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажутся 5 отличников.

3. На складе имеется 15 холодильников, причем 10 из них изготовлены на Минском заводе. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 холодильников окажутся 3 холодильника Минского завода.

4. В лотерее участвуют 10 билетов, 4 из которых выигрывают. У одного из участников на руках 3 билета. Найти вероятность того, что 2 из них выиграют.

5. В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных. Наудачу отобраны 5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей будет ровно 3 стандартных.

6. В группе, состоящей из 4 женщин и 3 мужчин, разыгрываются 4 билета в театр. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов женщин и мужчин будет поровну.

7. В коробке имеется 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди извлеченных изделий будет ровно одно окрашенное.

8. В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 путевок. Найти вероятность того, что среди обладателей путевок окажутся две девушки.

9. Из партии, в которой 10 деталей без дефекта и 5 с дефектом, берут наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что среди них будет ровно одна деталь с дефектом.

10. В офисе работают 6 мужчин и 4 женщины. Компьютер случайным образом отобрал 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

Задачи №11-20.

1. В группе 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,90, для велосипедиста – 0,80, для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что наудачу вызванный спортсмен выполнит квалификационную норму.

2. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,1 % брака, второй – 0,2 %, третий – 0,3 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000, а с третьего – 3000 деталей.

3. В трех киосках продаются 1000 лотерейных билетов, из них 400 в первом киоске, 300 – во втором. Среди билетов первого киоска 20 выигрышных, второго – 12, третьего – 18 выигрышных билета. Найти вероятность выигрыша на билет, купленный в наудачу выбранном киоске.

4. На фабрике изготовляющей болты, первая машина производит 30 %, вторая – 25 %, третья – 45 % всех изделий. Брак в их работе составляет соответственно 2 %, 1 %, 3 %. Найти вероятность того, что наугад выбранный болт дефектный.

5. В цехе три модели станков производят одинаковые детали, которые отправляются на общий склад. Станков модели «А» в цехе 5 штук, модели «Б» – 3 штуки и модели «В» – 2 штуки. Станки модели «А» производят 0,94 деталей отличного качества, модели «Б» – 0,9 и модели «В» – 0,85. Найти вероятность того, что взятая наугад со склада деталь окажется отличного качества.

6. Партия лампочек на 20 % изготовлена первым заводом, на 30 % – вторым, на 50 % – третьим. Вероятности выпуска бракованных лампочек соответственно равны: q₁ = 0,01, q₂ = 0,005, q₃ =0,006. Найти вероятность того, что наудачу взятая лампочка будет годной.

7. На базе находятся костюмы, изготовленные на трех фабриках. Из них 30 % изготовлено на первой, 50 % на второй и 20 % на третьей фабрике. Из каждых 100 костюмов, изготовленных на первой фабрике, 60 не имеют никаких дефектов, а на второй и третьей фабрике соответственно, 70 и 80 костюмов без дефектов. Найти вероятность того, что взятый наудачу с базы костюм будет иметь дефект.

8. На трех станках обрабатываются однотипные детали, которые складываются в один ящик. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго - 0,03, для третьего – 0,04. Производительность первого станка в 3 раза больше, чем второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго. Найти вероятность того, что взятая наудачу из ящика деталь будет бракованной.

9. В группе из 30 человек 5 отличников, 10 хорошистов, остальные студенты имеют удовлетворительную успеваемость. Вероятность правильного ответа на экзаменационный вопрос для отличников составляет 0,95, для хорошистов – 0,8 и для троечников – 0,7. К преподавателю наудачу подходит студент из группы. Найти вероятность того, что он правильно ответит на заданный вопрос.

10. Магазин получает часы одной марки от трех разных производителей. Первый завод производит 20 % всей продукции, второй – 30 %, остальные часы производит третий завод. В продукции первого завода спешат 5 % всех часов, второго – 3 %, третьего – 2 %. Найти вероятность того, что купленные в магазине часы спешат.

Задачи №21-30.

1. Посажено 5 семян, всхожесть которых составляет 80 %. Найти вероятность того, что весной будет 2 всхода.

2. Вероятность попадания в цель 0,6. Произведено 4 выстрела. Найти вероятность того, что из них выстрелов будет 2 попадания.

3. В сентябре в среднем 12 дождливых дней. Найти вероятность того, что за неделю будет 3 дождливых дня.

4. Какова вероятность того, что в семье из 5 детей будет точно 3 мальчика? Считать, что вероятность появления мальчика или девочки одинакова.

5. Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет 4 раза.

6. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

7. Вероятность взрыва при химической реакции равна 0,1. Найти вероятность того, что в серии из 8 синтезов взрыв произойдет 3 раза.

8. В цехе работают 4 станка. Вероятность остановки каждого из них в течение смены равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение часа остановится 3 станка.

9. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 43-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из первых 5 покупателей обувь этого размера потребуется двоим.

10. В мастерской работают 6 моторов. Для каждого из них вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0,8. Найти вероятность того, что к обеденному перерыву перегреются 4 мотора.

Задачи № 31-40.

Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Известно её математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение s. 1)Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b). 2) Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х - а окажется меньше d. Конкретные значения параметров заданы в таблице.

Задачи №41-50.

Закон распределения дискретной случайной величины Х задан в таблице. Найти: 1)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 2) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины , пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии.

Задачи №51-60.

Дана интегральная функция F(x) распределения непрерывной случайной величины. Требуется: 1) убедиться, что заданная функция F(x) является функцией распределения, проверив свойства функции; 2) найти плотность данного распределения f(x); 3) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения.

51) ; 52) ; 53) ; 54) ;

55) ; 56) ; 57) ; 58)

; 59) ; 60) .

Задачи №61-70.

Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным случайной величины Х, где m_i – частота попадания вариант в промежуток (х_i, х_i+1).

Номер задачи	Условие задачи	Номер задачи	Условие задачи
	i	xi<X xi+1	mi		i	xi<X xi+1	mi
	2 - 4			3 – 7
	4 - 6			7 – 11
	6 - 8			11 – 15
	8 - 10			15 – 19
	10 - 12			19 - 23
	i	xi<X xi+1	mi		i	xi<X xi+1	mi
	(-6)– (-2)			4 – 8
	(-2)– 2			8 – 12
	2 – 6			12 – 16
	6 – 10			16 – 20
	10 - 14			20 - 24
	i	xi<X xi+1	mi		i	xi<X xi+1	mi
	7 – 9			5 – 8
	9 – 11			8 – 11
	11 – 13			11 – 14
	13 – 15			14 – 17
	15 - 17			17 - 20
	i	xi<X xi+1	mi		i	xi<X xi+1	mi
	4 – 6			1 – 5
	6 – 8			5 – 9
	8 – 10			9 – 13
	10 – 12			13 – 17
	12 - 14			17 - 21
		10 – 14				20 – 22
	14 – 18			22 – 24
	18 – 22			24 – 26
	22 – 26			26 – 28
	26 - 30			28 - 30

Задачи №71-80.

На основании данного распределения выборки найти выборочное среднее, смещённую и несмещенную выборочные дисперсии. Построить полигон частот.