Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
Учреждение высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫСТУДЕНТОВ
ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» (ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР)
Тула 2012
Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры математического моделирования механико-математического факультета,
протокол № 11 от "21" июня 2011 г.
Данные методические указания написаны в помощь студентам экономических специальностей для самостоятельной работы в первом семестре. Рассмотрены решения типовых задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, введению в математический анализ, а также даны необходимые теоретические сведения и ссылки на литературу.
ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1.
Теоретические сведения.
В прямоугольной декартовой системе координат Oxyz положение любой точки задается тремя числами – координатами: (рисунок 1).
Рисунок 1.
Расстояние между двумя точками и определяется по формуле
. (1)
При решении задач аналитической геометрии на плоскости необходимы следующие сведения о прямой линии:
1) если точка М(x; y) делит отрезок М1М2 (М1(х1; у1) и М2(х2; у2)) в отношении λ, то координаты этой точки выражаются формулами
, , (2)
если же точка М(x; y) - середина отрезка М1М2, то
, ; (3)
2) уравнение прямой, проходящей через точку М1(x1; y1) и имеющей данный угловой коэффициент k, записывается в виде
; (4)
3) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(x1; y1) и М2(x2; y2), имеет вид
|
, при этом ; (5)
4) острый угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяется по формуле
, (6)
при этом условие параллельности прямых имеет вид k1=k2, а условие перпендикулярности ; (7)
5) если прямая на плоскости задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то - ее угловой коэффициент;
6) если в общем уравнении прямой поделить все члены на , получим уравнение прямой в отрезках:
, где , ; (8)
7) точка пересечения двух прямых А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0 определяется из решения системы уравнений
. (9)
Уравнение окружности с центром в точке и радиусом R имеет вид
. (10)
Пример выполнения задания.
Даны вершины треугольника АВС: А (– 4;8), В (5; – 4), С (10;6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD в общем виде и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр. |
Решение:
1) Расстояние d между двумя точками на плоскости определяется по формуле (1), в которую подставлены значения координат точек А и В (положим ), тогда
.
2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид (5):
Подставив в (5) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:
, , ,
, или (АВ).
Для нахождения углового коэффициента kAB прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно y: . Отсюда . Подставив в формулу (5) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС: , , ,
или x + 7y – 52 = 0 (AC).
Отсюда .
3) Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяется по формуле (6). Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (6), подставив в нее , .
|
,
рад.
4) Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых связаны соотношением (7), поэтому
.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид (4). Подставив в (4) координаты точки С и , получим уравнение высоты СD:
, , (CD).
Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):
, откуда х = 2, y = 0, то есть D (2;0).
Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:
.
5) Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулой (3) деления отрезка пополам, получим:
, .
Следовательно, Е (6; 3) и . Используя формулу (10), получаем уравнение искомой окружности: (х – 6)2+(y – 3)2 = 25.
Задача 2.
Теоретические сведения.
Если известны начало вектора и конец , то координаты вектора находятся по формулам
, , , (11)
а его длина определяется выражением
. (12)
Вектор с координатами может быть представлен разложением по ортам в виде
. (13)
Если α, β, γ – углы, которые вектор образует с положительными направлениями осей координат, то cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора (рисунок 2). Тогда имеют место соотношения
, , , .
Для векторов и вводятся операции с ложения и умножения на число такие, что
и ,
где − любое число.
Рисунок 2.
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, или, если векторы заданы своими координатами, то
|
. (14)
Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называют коллинеарными. Признак коллинеарности векторов и является пропорциональность их координат:
. (15)
Если векторы и взаимно перпендикулярны, то . Угол между векторами и определяется соотношением:
. (16)
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид
. (17)