Определить координаты центра тяжести сложной тонкой однородной пластины (табл. 1.1).
Таблица 1.1
| Вариант | Пластина | Вариант | Пластина |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Дополнительные сведения
1. Центр тяжести однородной плоской пластины
, (1.1)
где S – площадь фигуры.
2. Центр тяжести площади треугольника – точка пересечения медиан:
, (1.2)
где x A, x В, x D, y A, y В, y D – координаты вершин треугольника в выбранной системе координат.
Рис 1.2. Центр тяжести площади треугольника
3. Центр тяжести дуги окружности лежит на оси симметрии Ох:
, (1.3)
где R – радиус дуги окружности, α – половина центрального угла в радианах.
Рис. 1.3.Центр тяжести дуги лежит на оси симметрии
4. Центр тяжести площади кругового сектора лежит на оси симметрии Ох:
, (1.4)
где R – радиус сектора, α – половина центрального угла в радианах.
Рис. 1.4.Центр тяжести кругового сектора
Пример выполнения задания
Определить координаты центра тяжести сложной тонкой однородной пластины, изображённой на рисунке 1.1, если OB = ОА = ОЕ = OF = 30 см, r = 30 см, OB1=R = 60 см.
Рис. 1.5.Расчётная схема примера
Для решения задачи применяется метод дополнений. Разбиваем пластину на простейшие фигуры, центры тяжести которых можно вычислить:
1. сектор ОЕ1В1;
2. сектор ОАВ;
3. прямоугольник ОВДЕ;
4. треугольник OEF;
5. прямоугольник OB1D1E1.
Вычисляем площади (Sk) выделенных фигур:
, 
,
, 
, 
.
Используя формулу (1.4), определяем расстояния ОС 1, ОС 2 и координаты точек С 1, С 2:
,
, y 1 = OC 1·cos 450=0,08 м,
,
x 2 = y 2 = OC 2·cos 450=0,12 м.
Координаты точки С3: x 3 = 0,15 м, у3 = - 0,15 м.
Координаты точки С 4определяются по формуле (1.2)
x 4 = - 0,1 м, y 4 = - 0,1 м.
Координаты точки С 5(совпадает с точкой D)
х5 = 0,3 м, у 5 = - 0,3 м.
Координаты центра тяжести всей пластины определяются по формулам (1.1)
Ответ, xc = 0,024 м, ус = - 0,11 м.
Задача 1.2. Определение реакции опор твёрдого тела
Таблица 1.2
| Вариант | Данные варианта | Схема варианта |
| Р = 10 кН, М = 6 кН·м, q = 2 кН/м | 
| |
| P = 20 кН, М = 5 кН·м, q = 2 кН/м | 
| |
| P = 15 кН, М = 8 кН·м, q = 1 кН/м | 
| |
| P = 5 кН, M = 2 кН·м, q = 1 кН/м | 
| |
| P = 10 кН, М = 4 кН·м, P1 = P2 = P | 
| |
| P = 6 кН, M = 2 кН·м, q = 1 кН/м | 
| |
| P = 2 кН, M = 4 кН·м, q = 2 кН/м | 
| |
| P = 20 кН, М = 10 Кн·м, q = 4 кН/м | 
| |
| P = 10 кН, M = 6 кН·м | 
| |
| P = 2 кН, M = 4 кН·м, q = 2 кН/м | 
|
Образец выполнения задания
Д а н о: схема закрепления бруса
Рис. 1.6. Схема примера
P = 5 кН; M = 8 кН·м; q = 1,2 кН/м. Определить реакции опор.
Решение. Рассмотрим систему уравновешивающих сил, приложенных к конструкции. Действие связей на конструкцию заменим их реакциями (рис. 1.7). Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем равнодействующей Q = q·2 = 2,4 кН.
Рис. 1.7. Расчётная схема примера
Составим таблицу 1.3 проекций сил и моментов
Таблица 1.3
| Силы | XA | YA | P | Q | M | MA |
| Проекция на ось Ох | XA | P·cos450 | – | – | ||
| Проекция на ось Оy | YA | P·sin450 | - Q | – | – | |
| Момент относительно точки А | - P·sin450·2 | - Q ·5 | M | MA |
После составления таблицы проекций и моментов легко составить уравнения равновесия
XA + P ·cos 45° = 0, (1.5)
YA + P ·sin 45° − Q = 0, (1.6)
- P ·sin 45°·2 − Q ·5 + M + MA = 0. (1.7)
Из уравнения (1.5) находим XA = − P ·cos 45° = −2,5· 
.
Из уравнения (1.6) находим YA = − P ·sin 45° + Q = −2,5· + 2,4 ≈ − 1,14.
Из уравнения (1.7) находим MA = − M + Q ·5 + P ·sin 45°·2 ≈ 11,1.
II. КИНЕМАТИКА