ВОКАБУЛЯРИЙ
По аналитической геометрии для иностранных студентов
направления «Математика и компьютерные науки»
(кафедра ФН-11)
| Слова и понятия на русском языке, которые необходимо повторить перед: | |
| - лекцией | - семинаром |
| Лекция 1 | Семинар 1-2 |
| Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора как направленного отрезка. Нуль-вектор, единичный вектор (орт). Коллинеарные и компланарные векторы. Равенство векторов. Связанные, скользящие, свободные векторы. Линейные операции над векторами, свойства этих операций. Ортогональная проекция векторов на направление. Теоремы о проекциях. [1]: пп. 1.1–1.4 | Определители и их свойства. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера[3]. Ключевые слова: определитель, матрица, элемент матрицы, алгебраическое дополнение, минор, строка, столбец, главная диагональ, побочная диагональ |
| Текущее домашнее задание: [3]: №№ 1204(7), 1205(4), 1206(2), 1212, 1214, 1218, 1220, 1225, 1235(2), 1253, 1238, 1241, 1243, 1251. | |
| Лекция 2 | |
| Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость векторов. Критерий линейной зависимости двух и трех векторов. Линейная зависимость четырех векторов. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами. Скалярное произведение векторов, его механический смысл. Связьскалярного произведения двух векторов с ортогональной проекцией первого вектора на направление второго вектора. Алгебраические свойства скалярного произведения векторов. Критерий ортогональности двух векторов. [1]: пп. 1.5–1.7, 2.2 | |
| Лекция 3 | Семинар 3 |
| Ортогональные базисы. Ортонормированный базис i, j, k. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.Вычисление длины вектора, косинуса угла между векторами и проекции вектора на направление. Связь координат вектора в ортонормированном базисе с проекциями данного вектора на направлении базисных векторов. Направляющие косинусы вектора. [1]: пп.1.7, 2.2 | Линейные операции с векторами. Разложение вектора по базису. Ключевые слова: угол между векторами, угол между прямыми, угол от направления aдо направления b, линейная зависимость векторов, критерий линейной зависимости, определение, теорема, следствие, аксиома, необходимо условие, достаточное условие, пирамида, боковая грань, правильный треугольник, площадь |
| Текущее домашнее задание:[3]: №№ 769(2,4), 773(2,4), 775(1,3,5), 776, 778, 785, 787, 793. | |
| Лекция 4 | Семинар 4 |
| Правые и левые тройки векторов. Ориентация базиса. Векторное произведение двух векторов, его механический и геометрический смысл. Геометрические и алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе. [1]: п. 2.3 | Скалярное произведение векторов и его приложения. |
| Изучить самостоятельно: Двойноевекторное произведение[1]; [3]. | Текущее домашнее задание:[3]: №№ 795(2,4,6), 812(1,4,5), 820, 824, 830, 835, 781, 813, 817, 819. |
| Лекция 5 | Семинар 5 |
| Смешанное произведение трех векторов и его геометрический смысл. Свойства смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе. Объем пирамиды. Условие компланарности трех векторов. [1]: пп. 2.4–2.5 | Векторное произведение векторов и его приложения. |
| Текущее домашнее задание:[3]: №№ 841, 842, 848, 851, 858, 859, 853, 860. | |
| Лекция 6 | Семинар 6 |
| Радиус-вектор точки. Параллельный перенос и поворот осей координат. Простейшие задачи аналитической геометрии: вычисление длины отрезка, деление отрезка в данном отношении. Геометрический смысл уравнения F(x, у) =0 на плоскости и F(x, у, z)=0 в пространстве. Основные задачи аналитической геометрии. Составление уравнения данного геометрического образа. Распознавание геометрического образа по данному уравнению. [1]: пп. 3.1–3.5, 4.1–4.3 | Смешанное произведение векторов и его приложения. |
| Изучить самостоятельно: Правые и левые декартовы прямоугольные системы координат на плоскости и в пространстве. Вычисление площадей и объемов. | Текущее домашнее задание:[3]: №№ 865(2,4,6), 866, 870, 873, 874(3), 876. |
| Лекция 7 | Семинар 7 |
| Общее уравнение прямой на плоскости. Специальные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние и отклонение от точки до прямой. [1]: пп. 3.6–3.7, 4.1–4.4 | Плоскость в пространстве. |
| Изучить самостоятельно: Полярная система координат на плоскости. Цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве. | Текущее домашнее задание:[3]: №№ 914, 991, 929, 931, 934, 926(2), 927(2), 940(2), 941(1), 942(3), 950, 964(2). |
| Лекция 8 | Семинар 8 |
| Общее уравнение плоскости в пространстве. Специальные виды уравнения плоскости в пространстве. Угол между плоскостями. Условие перпендикулярности и параллельности плоскостей. Нормальное уравнение плоскости в пространстве. Расстояние и отклонение от точки до плоскости. [1]: пп. 5.1, 5.2 | Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. |
| Текущее домашнее задание:[3]: №№ 1008(1), 1009(1), 1024, 1043, 1054, 1063(2), 993. | |
| Лекция 9 | Семинар 9 |
| Общее уравнении прямой в пространстве. Векторные, параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Векторное, канонические и параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Переход от одного вида уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений данной прямой. Угол между прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости. Условия параллельности прямой и плоскости. Условие компланарности двух прямых. Скрещивающиеся прямые, расстояние между ними. Пучок плоскостей. Пучок прямых на плоскости. Связка плоскостей. [1]: пп. 5.3–5.5 | Аттестационная работа по модулю 1. |
| Лекция 10 | Семинар 10 |
| Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определения и вывод канонических уравнений. Исследование формы кривых второго порядка. Исследование уравнения Ах2+Су2+2Dx+2Fy+E = 0. Различные типы кривых, соответствующих данному уравнению. Смещенные кривые второго порядка. [1]: гл. 11 | Кривые второго порядка. |
| Изучить самостоятельно: Оптические свойства кривых второго порядка. Полярные уравнения кривых второго порядка. | Текущее домашнее задание:[3]: №№ 471(3), 472(2,3), 541(2,3), 542(3), 597(2), 598(2), 599(3). |
| Лекция 11 | Семинар 11 |
| Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Преобразование сжатия. Эллипсоид. Конус. Гиперболоиды. Параболоиды. Их канонические уравнения. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений. Исследование неполного уравнения поверхностей второго порядка. Различные типы поверхностей, соответствующих данному уравнению. [1]: гл. 12 | Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений. |
| Текущее домашнее задание:[3]:№№1181; 1183; 1153; 1172; 1173. | |
| Лекция 12 | Семинар 12 |
| Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции с матрицами и их свойства. Транспонирование матриц. Операция умножения и ее свойства. Определители, вычисление, свойства. [1]: пп. 6.1–6.4 | Матрицы. Линейные операции с матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица. |
| Текущее домашнее задание:[2]: №№ 3.76, 3.79, 3.82, 3.84, 3.85, 3.91, 3.93, 3.95, 3.104, 3.107, 3.110, 3.113, 3.115, 3.119 | |
| Лекция 13 | Семинар 13 |
| Блочные матрицы. Прямая сумма матриц и ее свойства. Обратная матрица. Теорема о единственности обратной матрицы. Критерии существования обратной матрицы. Присоединенная матрица. Элементарные преобразования матриц. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы и с помощью элементарных преобразований. Матрица, обратная произведению двух обратимых матриц. Решение матричных уравнений вида АХ=В, ХА=В и CХА=В с невырожденными матрицами А и C. Формулы Крамера для решения квадратной системы линейных уравнений.[1]: пп. 6.5-6,8, 8.1–8,6 | Решение матричных уравнений. Решение СЛАУ матричным способом. Нахождение ранга матрицы. |
| Текущее домашнее задание:[2]: №№ 3.123, 3.124, 3.191, 3.199, 3.151, 3.153, 3.157, 3.161, 3.165, 3.167 | |
| Лекция 14 | Семинар 14 |
| Линейная зависимость и линейная независимость строк и столбцов матрицы. Критерий линейной зависимости. Минор матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре и ее следствия для квадратных матриц. Ранг матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований. Способы вычисления ранга матрицы. Теорема о ранге системы векторов и ее следствие. [1]: пп. 6.7, 6.8, 8.4–8.6 | Контрольная работа |
| Лекция 15 | Семинар 15 |
| Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Координатная, матричная и векторная формы записи. Понятие общего и частного решения СЛАУ. Критерий Кронекера — Капелли совместности СЛАУ. Однородная СЛАУ. Критерий существования ее ненулевых решений. [1]: пп. 9.1–9.5 | Решение систем линейных однородных уравнений. Решение систем линейных неоднородных уравнений. |
| Текущее домашнее задание:[2]: №№ 3.223, 3.226, 3.227, 3.229, 3.231, 3.234 | |
| Лекция 16 | Семинар 16 |
| Свойства решений однородной СЛАУ. Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ. Фундаментальная совокупностьрешений однородной СЛАУ. Нормальная фундаментальная совокупность решений. Связь между решениями неоднородной и соответствующей ей однородной СЛАУ. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ. [1]: пп. 9.5–9.7 | Аттестационная работа по модулю 1. |
| Лекция 17 | Семинар 17 |
| Комплексные числа, их алгебраическая, тригонометрическая и экспоненциальная форма записи. Действия над комплексными числами. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Формулы Эйлера. Основная теорема алгебры. Разложение многочленов с действительными коэффициентами на неприводимые множители. Разложение рациональных дробей в сумму простейших[5]. | Консультация. |
Список литературы:
1.Канатников А.Н. Аналитическая геометрия: учеб. для вузов / А.Н. Канатников, А.П. Крищенко; под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – 6-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 2014.
2. Сборник задач по математике для втузов. Часть 1. Под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. — М.: изд. Альянс, 2010. – 480 с.
3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: Уч. пособие для втузов. – 17-е изд. – СПб., Изд-во«Профессия», 2009. – 200 с., ил.
4. Фролов С.А. Начертательная геометрия. Учебник для втузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1983.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1 – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 416 с.