Исходная система уравнений имеет вид:
1. Из коэффициентов при неизвестных составляем главный определитель системы: 
2. По правилу Сарруса находим значение этого определителя:
=5∙2∙2+3∙6∙1+2∙4∙4-3∙2∙4-2∙6∙2-5∙4∙1= 20+18+32-24-24-20=2≠0
3. Заменяя столбцы коэффициентов при каждом из неизвестных в главном определителе системы столбцом свободных членов, мы находим соответствующие вспомогательные определители системы:
4. В целях рациональности вычисления находим вспомогательные определители, применяя теорему Лапласа к первому, второму, третьему столбцу, соответственно:
4.1
4.2
4.3
5. По формулам Крамера находим неизвестные:
Решение окончено.
Проверка:
Ответ: ежедневный выпуск продукции составляет 200 шт. изделия S1, 150 шт. изделия S2 и 200 шт. изделия S3.
Задача № 2
В результате маркетингового исследования установлено, что функции спроса и предложения имеют вид:
1.  - спроса,
|  - предложения,
|
где p – цена товара.
Найти:
1) Равновесную цену p0.
2) Эластичность спроса и предложения для этой цены.
3) Изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.
Решение
1) Определяем равновесную цену p0, при которой спрос равен предложению.
Отсюда p0=2. (Отрицательный корень отбрасываем, как не имеющий экономического смысла).
График зависимостей спроса и предложения от цены представлен на рис. 1.
Рис.1. Зависимости спроса и предложения от цены.
2) Находим эластичности спроса и предложения для равновесной цены.
2.1. Находим производные q’(p) и s’(p).
2.2. Получаем общие выражения для эластичностей спроса и предложения.
2.3. Вычисляем эластичности спроса и предложения при равновесной цене.
|
|
Таким образом, при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается (т.к. «-») на 0, 3%, а предложение возрастает (т.к. «+») на 0,8%.
3) Выведем общее выражение для эластичности дохода R=pq по цене, пользуясь свойствами эластичности и подставим в него численные значения p0 и E2(q):
Это означает, что при увеличении цены на 1% от равновесного значения доход увеличивается на 0,7%. Следовательно, при увеличении цены на 5% от ее равновесного значения доход увеличится на 5×0,7%=3,5%.
Ответ: 1) равновесная цена товара равна 2; 2) при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается на 0, 3%, а предложение возрастает на 0,8%; 3) при увеличении цены на 5% от ее равновесного значения доход увеличится на 3,5%.
Задача № 3
Фирма реализует произведенную продукцию по цене p, а зависимость издержек C имеет вид 
, где q - объём производства.
Используя методы дифференциального исчисления:
1) выполнить полное исследование функции зависимости прибыли фирмы П от объема производства q построить ее график.
2) Найти оптимальный для фирмы объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.
a=7; b=0,01; c=5; p=10
Решение
Учитывая, что прибыль представляет собой разность между доходом и издержками, и подставляя численные данные, получаем явный вид зависимости прибыли от объема производства:
1) Выполняем полное исследование функции П(q)
1.1. Область определения D(П)=[0;+∞].
1.2. Находим первую и вторую производную П’(q) и П’’(q)
1.3. Находим критические точки, решая уравнение П’(q)=0
1.4. Наносим критическую точку на числовую ось, и находим знак первой производной на каждом из получившихся интервалов:
|
|
Из рисунка делаем выводы о том, что функция возрастает при 
, а убывает при 
; в точке q=10 функция имеет максимум.
Вычислим значение функции в этой точке:
1.5. Найдем точку перегиба графика функции, решая уравнение П’’(q)=0
Так как случай q=0 не представляет практического интереса, будем считать, что график функции точек перегиба не имеет.
1.6. Найдем, на каких интервалах график функции выпуклый, а на каких—вогнутый.
Так как 
на всей области определения, делаем вывод о том, что график функции выпуклый на всей области определения.
1.7. Сводим все полученные результаты в итоговую таблицу:
Таблица 1.
| q | П’(q) | П’’(q) | П(q) | Примечания |
| 0 | + | — | -5 | график выпуклый |
| (0;10) | + | — | ↑ | график выпуклый |
| 10 | 0 | — | 15 | максимум |
| (10;+∞) | — | — | ↓ | график выпуклый |
1.8. Строим схематический график функции
Рис.2. График зависимости прибыли от объема выпуска продукции.
2) Очевидно, что оптимальным для фирмы является объем выпуска, равный 10, при этом прибыль будет максимальна и составит 15.
Ответ в данной задаче нет необходимости выписывать отдельно, так как он фактически содержится в таблице 1.
Список рекомендуемой литературы
1. Высшая математика для экономистов: Учебн. пособие для вузов/ Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под. ред. проф. Н.Ш.Кремера— М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.—439 с.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник.— М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «ДИС», 1998. — 368 с.
|
|
3. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1 и 2.- М.: Высшая школа, 1982.
4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.
5. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие.—М.: Изд-во УРАО, 1998.—160 с.
6. Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. -М.: Высшая школа, 1972.
7. Н.И. Меркулова, Л.М. Приходько. Высшая и прикладная математика - Волгоград, 1995.
8. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. — М.: «Дело Лтд», 1995 г. — 320 с.