Атомические разложения функций в пространстве Харди
Міністерство Освіти України
Одеський державний університет
ім. І.І.Мечнікова
Інститут математики, економіки та механіки
Атомічні розкладення функцій
У просторі Харді
Дипломна робота
студентки V курсу
факультету математики
Семенцовой В.А.
Науковий керівник
Вартанян Г.М.
Одеса - 2000
Содержание
Введение.................................................................................... 3
Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и
пространствах 
, 
и 
................................. 8
§I.1. Интеграл Пуассона..................................................... 8
§I.2. Пространства ....................................................... 12
§I.3. Пространства и ......................................... 17
§I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная
максимальная функция............................................... 22
Глава II. Атомические разложения функции в пространстве
, пространство ВМО........................................ 26
§II.1. Пространство , критерий принадлежности
функции из 
пространству ....................... 26
§II.2. Линейные ограниченные функционалы на ,
двойственность и ВМО.................................. 32
Литература.................................................................................. 37
Введение.
Целью настоящей работы является изучение основных понятий и результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между следующими понятиями: интеграл Пуассона, пространства 
, 
, 
и 
, раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится именно в такой последовательности, так как определение каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов.
Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств , , , а во второй мы доказываем коитерий принадлежности функции из 
пространству 
и двойственность пространств и .
В работе мы рассматриваем случай 
периодических функций. Используемые обозначения имеют следующий смысл:
- пространство периодических, непрерывных на 
функций;
- пространство периодических, бесконечно дифференцируемых на функций;
- пространство периодических, суммируемых в степени р на функций, т.е.для которых 
, 
;
- пространство периодических ограниченных на функций;
- носитель функции 
.
В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-p,p] 2p-периодической комплекснозначной функции называется функция
¦r (x) = 
,
где 
, t Î [ -p, p ] - ядро Пуассона.
Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы неоднократно будем использовать в ряде доказательств:
а) 
;
б) 
;
в) для любого d>0
Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении интеграла Пуассона 
при 
:
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции 
(-p, p), 1 £ p < ¥, имеет место равенство 
;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p), то
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из 
. Тогда
для п.в. 
.
В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:
Определение1. Функция 
называется аналитической в точке 
, если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят, что функция аналитична на некотором множестве,если она аналитична в каждой точке этого множества.
Определение2. Действительная функция двух действительных переменных 
называется гармонической в области 
, если 
и удовлетворяет уравнению Лапласа:
.
Определение3. Две гармонические функции и 
, связанные условиями Коши-Римана: 
, 
, называются гармонически сопряженными функциями.
Определение4. Под нормой пространства понимается
, 
.
Определение5. Под нормой пространства понимается
, 
.
Определение6. Пусть 
(или 
, ). Модуль непрерывности (соответственно интегральный модуль непрерывности) функции определяется равенством
, 
.
(
, ).
Определение7. Последовательность 
функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции , если 
для почти всех 
, т.е. множество тех точек , в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.
В §I.2 мы рассматриваем пространства - это совокупность аналитических в единичном круге функций F (z), для которых конечна норма
.
Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию 
(
) можно предсавить в виде
, 
, 
,
где 
для п.в. , при этом
;
.
Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях:
Определение8. Говорят, что действительная функция , заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная 
, что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками 
выполнено неравенство 
.
Определение9. Действительная функция , заданная на отрезке [a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого 
найдется число 
такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов 
, 
с суммой длин, меньшей 
: 
, выполняется неравенство 
.
В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств и . Пространство () представляет собой совокупность тех функций 
, , которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из , т.е. представимы в виде (
). Здесь мы получаем следующие результаты: при 
пространство совпадает с 
, а при р=1 уже, чем , и состоит из функций 
, для которых и 
.
В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции 
, аналитической в круге 
с нулями 
, 
(
) с учетом их кратности:
,
где 
- кратность нуля функции 
при 
.
Здесь доказывается, что каждая функция 
представима в виде
, где 
не имеет нулей в круге и 
, 
,а 
- произведение Бляшке функции .
Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции. Пусть 
, 
, - произвольное число. Обозначим через 
, , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки 
к окружности 
, и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания (при 
вырождается в радиус единичного круга). Для 
положим
, ,
где - интеграл Пуассона функции . Функция 
называется нетангенциальной максимальной функцией для .
Тут же мы доказываем теорему об оценке 
: если 
(), , то 
и 
.
Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.
Во второй главе два параграфа.
В §II.1 рассматривается пространство . Как ранее отмечалось, оно уже, чем . Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству . Здесь вводится понятие атома: действительная функция 
называется атомом, если существует обобщенный интервал 
такой, что
а) 
; б) 
; в) 
.
Атомом назовем также функцию 
, . Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из 
, либо множество вида 
(
).
Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году Р.Койфманом о том, что функция 
тогда и только тогда, когда функция допускает представление в виде
, 
, где 
, 
, - атомы. (*)
При этом 
, где inf берется по всем разложениям вида (*) функции , а с и С 
- абсолютные константы.
Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами.
В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству , легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств и . Доказательству этого факта и посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение : пространство ВМО есть совокупность всех функций 
, удовлетворяющих условию
, (91)
где 
, а sup берется по всем обобщенным интервалам 
. А затем доказываем теорему о том, что 
.
Глава I.
Основные сведения об интеграле Пуассона и
пространствах , и
I.1.Интеграл Пуассона.
Пусть ¦(x), g (x), x ÎR1 –суммируемые на [-p, p], 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g(x) будем обозначать свертку
f*g(x) = 
dt
Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и
cn (f*g) = cn (f)× c-n (g), n = 0, ±1, ±2,... (1)
где { cn (f)} - коэффициенты Фурье функции f (x):
cn (f)= 
- i n t dt, n = 0, ±1, ±2,¼
Пусть ¦ Î L1 (-p, p). Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию
¦r (x) = 
n (f) r| n | ei n x, x Î [ -p, p ]. (2)
Так как 
для любых x Î [ -p, p ], n = 0, ±1, ±2,¼, а ряд 
сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций 
стремятся к нулю при 
), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r, 0 £ r < 1. Коэффициенты Фурье функции ¦r (х) равны cn (fr) = cn (f)× r| n |, n = 0, ±1, ±2, ¼, а это значит, что ¦r (x) можно представить в виде свертки:
¦r (x) = , (3)
где
, t Î [ -p, p ]. (4)
Функция двух переменных Рr (t), 0 £ r <1, t Î [ -p, p ], называется ядром Пуассона, а интеграл (3) - интегралом Пуассона.
Следовательно,
Pr (t) = 
, 0 £ r < 1, t Î [ -p, p]. (5)
Если ¦Î L1 (-p, p) - действительная функция, то, учитывая, что
c-n (f) = 
, n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим:
fr (x) = 
= 
, (6)
где
F (z) = c0 (f) + 2 
(z = reix ) (7)
- аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L1(-p, p) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u (z) = ¦r (eix ), z = reix, 0 £ r <1, x Î [ -p, p ].
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) = 
. (8)
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая (или аналитическая) в круге | z | < 1+e (e>0) функция и ¦ (x) = u (eix), xÎ[ -p, p ]. Тогда
u (z) = 
(z = reix, | z | < 1) (10)
Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
= 
, | z | < 1+ e.
Но тогда коэффициенты Фурье функции 
связаны с коэффициентами Фурье функции 
следующим образом:
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r (x) при r®1, отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а) ;
б) ; (11)
в) для любого d>0
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ (х) º 1.
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции (-p, p), 1 £ p < ¥, имеет место равенство
;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p), то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
. (12)
Для любой функции 
, пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона, находим
.
Следовательно,
.
Для данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что 
. Тогда для r, достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку
.
Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
ОпределениеI.1.
Пусть функция 
, суммируема на любом интервале (a,b), a<b, 
. Максимальной функцией для функции называется функция
,
где супремум берется по всем интервалам I, содержащим точку х.
Определение I.2.
Оператор 
называется оператором слабого типа (р,р), если для любого y > 0
, 
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда
для п.в. .
Доказательство.
Покажем, что для и 
, (13)
где С - абсолютная константа, а M (f, x) - максимальная функция для f (x) *). Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К - абсолютная константа).
Пусть 
- такое число, что
.
Тогда для
.
Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора 
. Используя его, найдем такую последовательность функций 
,что
,
(14)
для п.в. 
.
Согласно (13) при xÎ (-p,p)
Учитывая, что по теореме 1 
для каждого xÎ [-p, p] и (14)
из последней оценки получим
при r®1.
Теорема 2 доказана.
Замечание1.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p] 
, когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности 
пути.
§I.2.Пространства Hp.
Определение I.3.
Пространство 
- совокупность аналитических в единичном круге функций F (z), для которых конечна норма
. (15)
Пусть комплекснозначная функция 
удовлетворяет условиям
(16)
тогда функция F (z), определенная равенством
(17)
принадлежит пространству , причем
. (18)
Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства 
мы имеем
(*)
С другой стороны, по теореме 1 (а при р=¥ в силу теоремы 2)
. Отсюда 
(**)
Учитывая (*) и (**), получим (18).
Ниже мы докажем, что любую функцию 
можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется
Теорема 3.
Пусть комплекснозначная функция j (t) имеет ограниченную вариацию на [ -p,p] и
(19)
Тогда j (t) абсолютно непрерывна на [-p,p].
Замечание2.
В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации j (t). Мы говорим, что
j (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл
определен для каждой непрерывной на [-p,p] функции f (t), а также если
- характеристическая функция замкнутого множества 
.
Доказательство теоремы 3.
Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества ,
,
(20)
Для этой цели убедимся, что справедлива
Лемма 1.
Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества, причем 
и
. Тогда для всякого 
, существует функция 
вида
, (21)
обладающая свойствами:
а) 
;
б) 
; (22)
в) 
.
Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.
Пусть 
, где 
- конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F, и для 
.
Очевидно, что 
- открытое множество и 
.
Рассмотрим для данных 
функцию 
, построенную в лемме 1 для числа e и множества . Тогда нетрудно проверить[3], что если 
, а 
, то разность
. (23)
Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)
,
и мы получаем равенство (20).
Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится
ОпределениеI.4.
Средние Фейера - это средние вида
, где 
, 
, 
- ядро Дирихле,
, - ядро Фейера.
Отметим, что при ядро Фейера обладает следующими свойствами: а) 
, ; б) 
,
Мз которых вытекает, что для и
,
Также известно [3], что средние Фейера 
равномерно сходятся к 
.
Пусть f(t) - непрерывная на [-p, p] функция, для которой
и 
Так как средние Фейера 
равномерно сходятся к и
, то существует тригонометрический полином
(24)
такой, что
(25)
Пусть 
. Рассмотрим для каждого d>0 такую функцию 
, что
, 
(функцию 
можно построить следующим образом: взять замкнутое множество 
с мерой 
, достаточно близкой к 2p, и положить
).
Так как 
(здесь число m то же, что в (24)), то для достаточно малых d>0 функция 
удовлетворяет соотношениям
(26)
При этом 
, если 
. Тогда средние Фейера 
функции h(t) имеют вид
и при достаточно большом N
(27)
Положим
, 
(28)
Так как h(t) - действительная функция, то 
, n=0,±1,±2,¼. Поэтому
и 
. (29)
Определим искомую функцию g(t):
Ясно, что 
, а из (24) и (28) следует, что 
при n<0, т.е.
(30)
В силу соотношений (25), (27) и (29) для 
,
а для 
.
Наконец, для любого 
.
Таким образом, функция g(t) обладает всеми нужными свойствами (22). Лемма1, а вместе с ней и теорема 3 доказаны.
Теорема 4.
Пусть функция 
. Тогда для п.в. существует предел
(31)
При этом
1) , , ;
2) ;
3) .
Доказательство:
Нам достаточно доказать, что для каждой функции 
найдется функция 
такая, что имеет место 1). Действительно, если , то тем более и из 1) и теоремы 2 вытекает справедливость равенства (31) для п.в. . При этом 
и по теореме 1