Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) - 
удовлетворяет условию
, 
, 
. (51)
Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)
. (52)
Для фиксированного 
, 
, при 
имеет место оценка
. (53)
Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге , т.е. функция 
аналитична в единичном круге и имеет нули в точках 
, , и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством 
(
, ), мы находим
, . (54)
Допустим теперь, что 
() - нули некоторой функции 
с 
, причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим
, 
Функция 
() аналитична в круге радиуса больше единицы, и 
, если 
. Следовательно, 
и согласно п.3 теоремы 4 
. Но тогда
и
, (55)
Так как , , то из (55) вытекает сходимость произведения 
, а значит, и сходимость ряда (51).
ОпределениеI.6.
Пусть 
- аналитическая в круге 
функция и , (
) - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также 
- кратность нуля функции 
при 
. Произведение
(56)
называется произведением Бляшке функции .
Справедлива
Теорема 6.
Каждая функция представима в виде
,
где 
не имеет нулей в круге и
, 
,
а - произведение Бляшке функции .
Доказательство.
Пусть , () - нули функции (или, что то же самое, нули функции 
) Тогда, как отмечалось выше, - аналитическая в круге функция и
, . (57)
При этом функция 
также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и 
.
Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56):
, , .
Так как 
для любого 
, то по теореме 4
и
, если .
Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что 
(
) равномерно по , мы получим
, ,
т.е. , .
Теорема 6 доказана.
ОпределениеI.7.
Пусть 
, 
, - произвольное число. Обозначим через 
, , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки 
к окружности 
, и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания (при 
вырождается в радиус единичного круга). Для 
положим
, ,
где 
- интеграл Пуассона функции 
. Функция 
называется нетангенциальной максимальной функцией для .
В силу теоремы 2
для п.в. . (58)
Установим, что для произвольной функции величина не превосходит (по порядку) значения максимальной функции 
*) в точке х, т.е.
, . (59)
Нам понадобится
утверждение 3.
а) если функция 
, то для любого 
;
б) если функция 
, 
то 
,
где 
- постоянная, зависящая только от числа р.
Пусть 
и 
. По определению интеграла Пуассона
Положим 
. Тогда будем иметь
и, в силу неравенства 
, 
, и периодичности 
,
. (60)
Так как обе функции 
и 
положительны при 
и отрицательны при 
(из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что 
, мы получим
. (61)
Для 
имеют место оценки
,
.
Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что
при 
, (62)
если 
. Пусть 
, тогда
.
В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции 
, 
,
, (63)
где 
- постоянная, зависящая только от 
.
Теорема 7.
Пусть 
(
), и
, .
Тогда 
и
. (64)
Доказательство.
Утверждение теоремы 7 в случае, когда , есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь . По теореме 6 , где , 
, если и . Из функции можно извлечь корень: существует функция 
такая, что 
, и, следовательно из (64) при р=2, получим
.
Оценка снизу для 
вытекает из (58).
Теорема 7 доказана.