в пространстве 
, пространство ВМО.
§II.1.Пространство , критерий принадлежности функции из 
пространству .
Рассмотрим 
(
) - пространство функций 
, являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства 
:
для п.в. 
, 
. (65)
Ранее мы доказали, что
, , (66)
и что - банахово пространство с нормой
; (67)
при этом, если в (65) 
, то
(). (68)
В замечании 3 уже говорилось о том, что при 
пространство совпадает с пространством 
и из утверждения 2 следует, что
().
Последнее соотношение теряет силу при 
- нетрудно проверить, что при 
,
где
и, следовательно, существует функция 
, для которой 
. Таким образом, 
- собственное подпространство в 
. Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству .
ОпределениеII. 8.
Множество 
мы будем называть обобщенным интервалом, если 
- дуга на единичной окружности, т.е. 
- либо интервал из 
, либо множество вида
(
). (69)
Точку 
назовем центром обобщенного интервала , если 
- центр дуги 
. Длиной обобщенного интервала естественно назвать величину
Определение II.9.
Действительную функцию 
назовем атомом, если существует обобщенный интервал такой, что
а) 
;
б) 
;
в) 
.
Атомом назовем также функцию 
, 
.
Теорема 8.
Для того, чтобы выполнялось включение: 
, необходимо и достаточно, чтобы функция допускала представление в виде*)
, 
, (70)
где 
, 
, - атомы. При этом
, (71)
где inf берется по всем разложениям вида (70) функции , а с и С 
- абсолютные константы.
Доказательство.
Достаточность.
Пусть для функции нашлось разложение вида (70). Покажем, что и 
. Для этого достаточно проверить, что для любого атома 
имеет место неравенство
. (72)
Пусть - такой обобщенный интервал, что
, 
, (73)
(случай 
тривиален). Так как 
, то нам остается доказать, что
. (74)
Для любого измеримого множества 
, применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим
, (75)
откуда сразу вытекает (74), в случае, когда 
.
Допустим теперь, что 
, и обозначим через 
обобщенный интервал длины 
с тем же центром, что и . Из (75) следует, что
.
Нам остается оценить интеграл 
. Мы воспользуемся очевидным неравенством
, 
,
где 
- длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки 
и , а 
- абсолютная постоянная. В силу (73) при 
мы имеем
где 
- центр обобщенного интервала . Из последнего соотношения, учитывая, что и 
, мы находим
, , где 
.
Следовательно,
.
Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.
Необходимость.
Построим для данной функции разложение (70), для которого
.
Пусть функция 
с такова, что выполнено соотношение (65), и пусть 
(
) - нетангенциальная максимальная функция для 
, т.е.
, , (75')
где 
- область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки к окружности 
, и наибольшей дугой окружности , заключенной между точками касания.
Теорема 7 утверждает, что 
, поэтому нам достаточно найти такое разложение функции на атомы (70), что
, (76)
где постоянные С и 
() не зависят от 
. Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число : пусть, например, 
. Не ограничивая общности, мы можем считать, что
. (77)
Рассмотрим на отрезке 
множества
, 
, (78)
Так как при любом 
множество точек единичной окружности 
открыто, то ясно, что при множество 
(если оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:
, 
при 
, 
, 
. (79)
Положим 
и при
(80)
Так как конечна для п.в. , то из определения функций 
, , следует, что для п.в. 
при 
, а значит, для п.в.
.
Отсюда, учитывая, что 
, а следовательно из (80), 
при 
, мы находим, что
, (81)
где 
- характеристическая функция множества . Из (81), учитывая, что , мы для функции получаем следующее разложение:
для п.в. , (82)
где
, 
, 
(83)
С помощью функций 
мы и построим нужное нам разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при ,
, 
. (84)
Докажем теперь, что для п.в.
, , (85)
где постоянная 
зависит только от числа , зафиксированного нами ранее.
Так как из (65) и (75') 
для п.в. , то из (77) следует, что
.
Пусть теперь , 
- один из обобщенных интервалов в представлении (79), тогда из (77) и (78) 
, и если 
, 
- концевые точки дуги 
(
), то 
, а значит,
, 
. (86)
Из неравенств (86) согласно (75') следует, что
при 
. (87)
Легко видеть (учитывая, что 
и ), что множества 
и 
пересекаются в одной точке:
с 
, 
. (88)
Пусть 
, 
, - отрезок, соединяющий точки 
и . Так как 
, , то из непрерывности функции при 
и неравенства (87) вытекает, что , если 
, , и . Поэтому, учитывая (88)
, , , . (89)
Рассмотрим область  , ограниченную
отрезками  и  и дугой ;
пусть, далее, для 
 ,
 , .
| 
|
По теореме Коши [5] 
.
Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги 
справедливо равенство 
,
мы получим
.
Но в силу теорем 4 и 5
, 
,
и так как 
, , то мы находим, что
. (89')
Легко видеть, что отношение 
ограничено сверху числом, зависящим только от s, поэтому
, . (90)
Так как 
, то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для 
, , справедливо неравенство (85). Для п.в. 
неравенство (85) сразу следует из определения функций 
и множеств 
.
Пользуясь оценкой (85), из (83) мы получаем, что 
, а это значит, что функции
, , ,
являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции на атомы:
для п.в. ,
где 
, 
.
Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем
.
Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.
§II.2. Линейные ограниченные функционалы на , двойственность и ВМО.
Дадим описание пространства 
, сопряженного к банахову пространству 
. Нам потребуется
Определение II.10.
Пространство ВМО есть совокупность всех функций 
, удовлетворяющих условию
, (91)
где 
, а sup берется по всем обобщенным интервалам 
.
Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой
. (92)
Ясно, что 
. В то же время ВМО содержит и неограниченные функции. Нетрудно проверить, например, что функция 
.
Теорема 9.
, т.е.
а) если 
, и для произвольной функции 
рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):
, 
, , - атомы*) (93)
и положить
, (94)
то сумма 
ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на ;
б) произвольный ограниченный линейный функционал 
на представим в виде (94), где . При этом
(С, С1 - абсолютные постоянные).
Лемма 2.
Пусть функция 
такова, что для любого обобщенного интервала найдется постоянная 
, для которой
,
где М не зависит от . Тогда 
и 
.
Доказательство.
Для любого обобщенного интервала мы имеем
,
откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.
Следствие 2.
Если , то 
и
. (95)
Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что
для произвольного обобщенного интервала .
Доказательство теоремы 9.
а) Пусть . Положим
Так как всегда 
, то, учитывая равенства
, 
, 
,
мы с помощью следствия 2 находим
, 
(96)
Допустим, что 
(по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение
, 
, (97)
где функции 
являются атомами и 
, и при 
, 
, 
. (98)
Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при
.
Отсюда, учитывая, что функции 
, , по модулю не превосходят суммируемой функции 
и для п.в. 
, мы получим, что
.
Таким образом, равенством
, 
, (99)
определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в 
линейном многообразии (плотность функций из 
в вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции 
частные суммы разложения (70) сходятся к по норме , и, очевидно, принадлежат пространству ). Поэтому функционал 
можно единственным образом продолжить на все пространство :
, . (100)
Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции ряд (94) сходится и его сумма равна 
. Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме к :
.
б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на . Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции 
(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на 
, а следовательно, найдется функция 
с
, (101)
для которой
, . (102)
В частности, равенство (102) выполняется, если - произвольный атом. Докажем, что
. (103)
Пусть I - произвольный обобщенный интервал, 
- произвольная функция с 
. Тогда функция
, ,
является атомом и в силу теоремы 8 
. Поэтому
.
Подбирая в последнем неравенстве функцию 
оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала I
,
что с учетом соотношения 
доказывает оценку (103).
Таким образом, для значение функционала 
совпадает со значением ограниченного линейного функционала на элементе (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство плотно в , то, следовательно,
для любой функции .
Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.
Литература
1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.
3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.: Наука, 1988. —815с.
4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1961. —936с.
5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. — 415с.
6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.
7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука, 1964.—т.2,—463с.
8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.
*) Мы считаем, что f (x) = 0, если | x | > p.
*) Так как функция определялась для функций, заданных на, то мы дополнительно полагаем, если; при и при.
*) В силу условий а) и в) в определении 9,, поэтому ряд (70) сходится по норме пространства и п.в.
*) Возможен случай, когда при.