Выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления

Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1).

Рассмотрим выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления. Для этого воспользуемся таблицами сложения и умножения двоичных чисел (табл. 4).

Таблица 4

Таблицы сложения и умножения в двоичной системе счисления

Из табл. 4 следует, что при сложении двух единиц возникает избыток: значение суммы двух со­ответствующих разрядов превышает наибольшее значение, которое можно пред­ставить одной цифрой двоичного представления. В этом случае в данный разряд записывается нуль, а единица переносится в стар­ший, левый разряд.

Пример 6. Сложить десятичные числа 199₁₀ и 149₁₀, используя их двоичное представление. Перевести полученную сумму обратно в десятичную систему счисления и проверить правильность полученного результата.

Решение. Переведем исходные числа в двоичную систему счисления:

199₁₀ = 11000111₂, 149₁₀ = 10010101₂.

Выполним сложение полученных двоичных чисел в соответствии с табл. 4:

Переведем полученное значение суммы в десятичную систему счисления:

101011100₂ = 2⁸ + 2⁶ + 2⁴ + 2³ + 2² = 256 + 64 + 16 + 8 + 4 = 348₁₀ = 199₁₀ + 149₁₀.

Ответ. 199₁₀ + 149₁₀ = 101011100₂.

Операцию вычитания двоичных чисел можно проводить так же, как это делается в десятичной системе.

Пример 7. Найти разность десятичных чисел 199₁₀ и 149₁₀, используя их двоичное представление.

Решение.

,

110010₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ = 50₁₀ = 199₁₀ – 149₁₀.

Ответ. 199₁₀ – 149₁₀ = 110010₂.

В вычис­лительной технике операцию вычитания заменяют операцией сложения с отрицательным числом и используют для этого спе­циальное представление – обратный или дополнительный коды. Этот вопрос будет рассмотрен позже.

Умножение в двоичной системе счисления выполняется в соответствии с правилами, приведенными в табл. 4, и проводится по тому же алгоритму, что и умножение в десятичной системе.

Пример 8. Выполнить умножение десятичных чисел 199₁₀ и 149₁₀, используя их двоичное представление.

Решение. В качестве второго множителя удобнее брать то двоичное число, в записи которого используется меньше единиц.

,

111001111010011₂ = 2¹⁴ + 2¹³ + 2¹² + 2⁹ + 2⁸ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ =

= 16 384 + 8 192 + 4 096 + 512 + 256 + 128 + 64 + 16 + 2 + 1 = 29 651₁₀ = 199₁₀ × 149₁₀.

Ответ. 199₁₀ × 149₁₀ = 111 001 111 010 011₂

Деление в двоичной системе счисления выполняется по тому же алгоритму, что и в десятичной системе («углом»):

Пример 9. Выполнить умножение десятичных чисел 199₁₀ и 19₁₀, используя их двоичное представление.

Решение. Представим десятичное число 19₁₀ в двоичной системе счисления:

19₁₀ = 10011₂.

Выполним деление:

Таким образом,

199₁₀ = 1010₂ × 19₁₀ + 1001₂.

Из примера следует, что в результате выполнения деления может получиться остаток или дробная часть, которая будет содержать бесконечно много знаков. Если остаток отбрасывается, то результатом операции деления является целое число (в этом случае деление называется целочисленным). В противном случае результатом операции деления является действительное число.