| комбинаторика | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1. | В информационно-технологическом управлении банка работают три аналитика, десять программистов и 20 инженеров. Для сверхурочной работы в праздничный день начальник управления должен выделить одного сотрудника. Сколько способов существует у начальника управления? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Начальник управления может отобрать одного аналитика  способами, одного программиста –  способами, а одного инженера –  способами. Поскольку по условию задачи начальник управления может выделить любого из своих сотрудников, то согласно правилу суммы у него существует  различных способов выбрать сотрудника для сверхурочной работы.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2. | Начальник службы безопасности банка должен ежедневно расставлять десять охранников по десяти постам. В целях усиления безопасности одна и та же комбинация расстановки охранников по постам не может повторяться чаще одного раза в месяц. Чтобы оценить, возможно ли это, найти число различных комбинаций расстановки охранников. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. На первый пост начальник службы безопасности может назначить любого из  охранников, на второй пост– любого из оставшихся  охранников и так до девятого поста, но который можно назначить любого из оставшихся  охранников, при этом оставшийся  охранник будет назначен на 10-й пост. Поэтому согласно правилу произведения у начальника службы безопасности есть  способов расстановки охранников по постам. Поскольку количество дней в месяце не превышает 31, у начальника службы безопасности заведомо существует достаточное число способов расстановки своих подчинённых по постам.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3. | Сколькими способами можно рассадить 6 человек за круглым столом? (Рассматривается только расположение сидящих относительно друг друга.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Первый садится на любое место, тогда оставшиеся 5 человек могут расположиться относительного него за столом 5!способами. Следовательно: 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. | Группа студентов второго курса из 10 человек сдавала зачёт по теории вероятностей. Сколькими способами могли быть проставлены им зачёты? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Напротив каждой фамилии может стоять два варианта записи: зачёт или незачёт. В ведомости 10 фамилий. Соответственно:  .
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5. | Между 10 девушками, вышедшими в финал конкурса «Ивановская красавица», разыгрывается три номинации: «Мисс Ивановская красавица», «Вице-мисс» и «Мисс зрительских симпатий». Сколькими способами эти места могут быть распределены? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Из 10 девушек выбираем троих, причём порядок выбора имеет значение. Следовательно: 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6. | Отдел рекламы фирмы имеет средства на размещение рекламы только в 15 из 25 городских газет. Сколько существует способов для случайного отбора газет для помещения объявлений? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: Нужно выбрать 15 газет из 25:  .
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 7. | Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 и 5, если 1) цифры могут повторяться? 2) при условии, что ни одна цифра не повторяется? 3) при условии, что любые две соседние цифры были различны? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение:
1) если цифры повторяются, то каждую цифру четырёхзначного числа можно выбрать 5 способами. Значит, из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить  чисел, если цифры могут повторяться.
2) количество четырёхзначных чисел, если цифры не повторяются:  .
3) количество четырёхзначных чисел, если любые две соседние цифры были бы различны:  .
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8. | Сколько различных «слов» можно получить при перестановке букв в слове «статистика»? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: В слове «статистика». 10 букв. Перестановка трёх букв «т», двух букв «а», «и» и «с» не изменяют слова. Значит, при перестановке букв в слове «статистика» можно получить  «слов».
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 9. | Номер машины состоит из 3 букв и 4 цифр. Сколько всего существует разных номеров, если алфавит содержит 32 буквы? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Выбираем 3 буквы из 32 и 4 цифры из 10, порядок выбора учитывается. Значит, 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 10. | Сколькими различными вариантами можно распределить 15 студентов на практику на три предприятия, если на первое предприятие идёт 8 студентов, на второе – 5, а на третье – 2. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Нужно сделать три выбора: 8 студентов из 15, 5 студентов из 7 и 2 студента из 2.
При выборе 8 студентов на первое предприятие важен только персональный состав, т. е. восьмерка может быть укомплектована  способами.
Аналогично, при выборе 5 студентов из оставшихся 7 на второе предприятие важен опять только персональный состав, т. е. пятерка может быть укомплектована  способами.
И, наконец, выбор 2 студентов из оставшихся 2 можно осуществить единственным образом или  способами.
Каждый вариант первого выбора может сочетаться с каждым следующим выбором, поэтому по правилу произведения общее число различных вариантов распределения 15 студентов на практику равно:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| определение вероятности | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 11. | К семинару подготовились 25 студентов из группы, состоящей из 30 человек. Какова вероятность того, что преподаватель спросит не подготовившегося студента? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Всего студентов 30, т.е.  . Количество студентов, не подготовившихся к семинару равно  . Следовательно,  .
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 12. | Игрок сначала бросает белую игральную кость, потом чёрную. Найти вероятность событий:
 ;
 ;
 ;
 .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Общее число равновозможных элементарных исходов равно  .
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 
| 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 
| 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 
| 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечание. Данный пример можно проиллюстрировать с помощью таблицы. В верхней строке таблицы запишем результаты бросания белой игральной кости, в крайнем левом столбце – результаты бросания чёрной игральной кости.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 13. | Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Обозначим событие  .
Абонент мог набрать любые две различные цифры из 10 цифр, при наборе последних двух цифр важен не только состав, но и порядок набора цифр, т. е. последние две цифры телефона могут быть набраны  способами, т. е.  . Благоприятствует событию  только один способ, т. е.  По классическому определению вероятности находим–  .
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 14. | На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли три человека. Вероятность выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова. Найти вероятность событий:
 ;
 ;
 .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Каждый человек может выйти на одном из шести этажей: 2,3,4,5,6,7, т.е. число вариантов выхода трех человек из лифта на шести разных этажах равно  .
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 
| 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 
| 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 
| 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 15. | Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 25. Чтобы получить удовлетворительную оценку студент должен ответить на 2 из трех предлагаемых ему вопросов. Какова вероятность того, что студент получит оценку «удовлетворительно»? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Общее число равновозможных исходов равно 
Обозначим событие  .
Количество выбора 2 вопросов из 25 равно  1 вопроса из 15 равно  . Значит, по правилу произведения общее число благоприятных исходов равно 
Следовательно, 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 16. | Первенство по баскетболу оспаривают 18 лучших команд, которые путём жеребьёвки распределяются на две группы по 9 команд в каждой, 5 команд обычно занимают первые места. а) Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу? б) Какова вероятность попадания двух лидирующих команд в одну группу и трёх в другую? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение.1) Обозначим событие:  .
Из восемнадцати команд две группы по девять команд могут быть образованы  способами. Таким образом,  . Событию  благоприятствуют столько событий, сколькими способами пять лидирующих команд можно дополнить четырьмя командами из числа оставшихся тринадцати команд при формировании каждой из групп. Поэтому как первая, так и вторая девятка может быть образована  способами. Следовательно,  . Тогда,  .
2) Обозначим событие  .
Аналогично рассуждая, понятно, что число событий, благоприятных событию , равно
 . Следовательно,  .
Замечание. Наличие лидирующих команд в обеих группах более вероятно, чем их отсутствие в одной из групп. Любители баскетбола в этом убеждаются на практике: слабых групп нет!
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 17. | В одной счастливой семье было 5 дочерей. Разница в их возрасте составляла один год, однако молодые красавицы скрывали свой возраст. 3-м из них посчастливилось найти своих спутников жизни в одном году. Какова вероятность того, что эти 3 дочери вышли замуж согласно старой традиции по старшинству? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||