ПРИМЕР РАСЧЕТА СОСУДА ПО БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ




Выполним расчет сосуда, со­стоящего из участков сферической, цилиндрической и конической оболочек (рис.10), по безмоментной теории.

 

 

Рис.10. Расчетная схема сосуда

 

Геометрические размеры сосуда известны. Заданы также модуль упругости Е и коэф­фициент Пуассона m материала сосуда. Сосуд заполнен жидкостью с плотностью r. Жидкость находится под давлением p.

Если пренебречь весом сосуда, то реакция кольцевой опоры будет численно равна весу жидкости, заключенной в сосуде:

 

(9)

 

где g = r g – удельный вес жидкости, V - объём сосуда.

Расчет сосуда производим по отдельным его элементам.

 

Сферическая оболочка

 

Сферическая оболочка нагружена давлением

 

(10)

 

переменным вдоль дуги меридиана.

Главные радиусы кривизны сферической оболочки:

R 1 = R 2= R (11)

радиус параллельного круга

r = R sin j (12)

Нормальным коническим сечением с углом 2φ при вершине выделим часть сферической оболочки, как показано на рис. 11.

 

 

Рис.11. Расчетная схема сферической оболочки

 

Уравнение равновесия отсеченной части оболочки:

 

(13)

 

Осевую равнодействующую P z сф внешней нагрузки q = var на рассматриваемую часть оболочки находим по выражению (5), переходя к интегрированию по переменной j:

 

(14)

 

Подставляя полученное выражение для P z сф в уравнение (13) находим меридиональные напряжения в оболочке

. (15)

 

Подставляя значения главных радиусов кривизны (11) и вы­ражение (10) для давления q в уравнение Лапласа (3), получаем следующее соотношение:

 

(16)

 

откуда c помощью выражения (15) находим кольцевые напряжения в оболочке:

. (17)

 

Радиальные перемещения точек оболочки определяем по фор­муле (7) с использованием выражений (15) и (17)

(18)

 

Формулу для определения углов поворота нормали к оболоч­ке получим, подставляя соотношение (16) в выражение (8):

 

(19)

 

Коническая оболочка

Главные радиусы кривизны конической оболочки:

 

(20)

 

 

Рис.12. Расчетная схема конической оболочки.

 

При расчете конической оболочки удобно ввести параметр x, определяющий расстояние исследуемого сечения от вершины конуса по образующей (см. рис. 10). Радиус параллельного круга и второй главный радиус кривизны конической оболочки выража­ются через параметр х очевидными соотношениями:

 

(21)

 

Внешняя нагрузка изменяется вдоль образующей конуса по закону:

 

(22)

 

Кольцевые напряжения в оболочке находим из уравнения Лапласа:

 

(23)

 

Меридиональные напряжения находим из уравнения равнове­сия зоны оболочки, отсеченной нормальным коническим сечением c углом 2 j при вершине, (рис.12):

 

(24)

Осевую равнодействующую P z кон внешней нагрузки на отсеченную часть оболочки, ограниченную параллельным кругом r = x sin a (рис. 12)., находим по выражению (5), переходя к ин­тегрированию по переменной х и принимая во внимание, что cos j = sin a:

 

(25)

 

Подставляя полученное выражение в уравнение (24) находим меридиональные напряжения в оболочке:

 

(26)

 

Радиальные перемещения точек оболочки находим по формуле (7):

 

(27)

где ss и st определены выражениями (23) и (26).

Угол поворота нормали к оболочке определяем по формуле (8), используя выражения (23) и (26):

 

(28)

(28)

 

 

Цилиндрическая оболочка

 

Цилиндрическая оболочка нагружена переменным давлением

(29)

Координата z изменяется в пределах

 

Главные радиусы кривизны цилиндрической оболочки

(30)

Радиус параллельного круга

r = r 0 (31)

При определении меридиональных напряжений следует учесть, что цилиндрическая оболочка имеет в данном случае два участка нагружения (см.рис.10):

1 участок - от сферической крышки до кольцевой опоры

 

2 участок - от кольцевой опоры до конического днища

 

Расчетная схема для 1 участка цилиндрической оболочки представлена на рис.13.

 

Рис.13. Расчетная схема цилиндрической оболочки (1 участок)

 

Уравнение равновесия рассматриваемой части сосуда:

 

(32)

 

Осевую равнодействующую сил давления среда на сфериче­скую крышку сосуда можно определить из выражения (14) пола­гая в нем j = j 0

 

(33)

 

Расчетная схема для 2 участка цилиндрической оболочки представлена на рис.14

 

Ряо.14. Расчетная схема цилиндрической оболочки (2 участок).

 

Уравнение равновесия рассматриваемой части сосуда:

 

(34)

 

где P z2- осевая равнодействующая сил давления среды на коническое днище сосуда. Величину ее можно определить из выражения (25), полагая в нем x = x 0:

(35)

В результате получаем следующие формулы для определения меридиональных напряжений в цилиндрической оболочке:

- на 1 участке

 

(36)

 

на 2 участке

 

(37)

 

Кольцевые напряжения в оболочке находим, подставляя зна­чения главных радиусов кривизны (30 в выражение (29) для давления q в уравнение Лапласа (3). В результате получим следующую формулу:

 

, (38)

 

общую для 1 и 2 участков оболочки.

Радиальные перемещения точек цилиндрической оболочки опре­деляем по формуле (7):

 

 

Таким образом,

на первом участке,

на втором участке. (39)

Угол поворота нормали к оболочке определяем по формуле (8):

(40)

 

Численный расчет выполним для следующих значений пара­метров сосуда и нагрузки:

r 0 = 500 мм, j 0 = 60°, p = 0,1 МПа,

L = 7000 мм, a = 45°, r = 1,02 кг/м3,

l = 3500 мм, E = 2×105 МПа, m = 0,3

h 1 = h 2 = h 3 = 10 мм.

 

Очевидно, что

,

,

g = r × g = 10-5 Н/мм3.

 

Подставляя значения параметров в выражения для напряже­ний и перемещений, получаем следующие расчетные формулы для элементов сосуда:

– для сферической оболочки:

, (41)

, (42)

, (43)

. (44)

 

– для цилиндрической оболочки:

на первом участке,

на втором участке; (45)

, (46)

на первом участке,

на втором участке; (47)

; (48)

– для конической оболочки:

, (49)

, (50)

, (51)

. (52)

Результаты расчета сводим в табл. 1

Таблица 1

Результаты расчета сосуда по безмоментной теории

Элемент сосуда Координата точки Расчетные величины
ss*, МПа st*, МПа D*×103, мм u*×106, рад
Сферическая оболочка j          
      2,96 0,83
      5,35 1,44
Цилиндрическая оболочка z, мм       11,0 1,25
3789 -0     15,3 1,25
3789 +0     14,0 1,25
      18,3 1,25
Коническая оболочка x, мм       25,9 -89,4
      6,45 -45,4
         

 

По результатам расчета строим эпюры меридиональных и кольцевых напряжений, радиальных и угловых перемещений для элементов сосуда, руководствуясь при этом известными из кур­са математического анализа правилами построения графиков кривых по их уравнениям.

На рис.15 показано распределение меридиональных и коль­цевых напряжений в элементах сосуда. На рис.16 представлены эпюры радиальных и угловых перемещений.

Анализ полученных результатов приводит нас к выводу, что безмоментная теория не дает удовлетворительного решения зада­чи о расчете сосудов, состоящих из оболочек различной геомет­рической формы. Этот вывод следует из того, что в точках со­пряжения элементов сосуда расчет по безмоментной теории дает нам скачки величин радиальных и угловых перемещений, 45а это противоречит условию неразрывности конструкции.

Рис.15. Графики меридиональных и кольцевых напряжений

в элементах сосуда

 

Полученные результаты справедливы для участков сосуда, на­ходящихся на некотором удалении от точек сопряжения. В узких зонах элементов сосуда, примыкающих к точкам сопряжения, а также к кольцевой опоре, возникает моментное напряженное со­стояние, которое носит название краевого эффекта. Исследова­ние напряженно-деформированного состояния в зонах краевого эффекта необходимо выполнять методами моментной теории оболочек.

Рис.16. Графики радиальных и угловых перемещений элементов сосуда

 

Необходимо отметить, что вершина конической оболочки является особой точкой (в окрестности вершины, в частности, -нарушается условие тонкостенности оболочки), и исследование напряженно-деформированного состояния зона оболочки, примы­кающей к вершине, следует проводить особыми методами.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: