Проверка на нормальность

Д ля проверки количественных данных на нормальность используются следующие методы:

Графические

1.1. Гистограмма

1.2. Ящик с усами

Идея построения диаграммы ящика с усами представлена на рисунке

Аналитические

Для аналитической проверки на нормальность существует огромное число тестов, например, критерий Хи-квадрат, критерий Колмогорова, Шапиро-Уилка и другие. Рассмотрим критерий Жарка-Бера (Jarque-Bera). Идея этого критерия заключается в том, что по данным выборки оценивается скошенность (асимметрия) и «вытянутость» фактического распределения и сравнивается с нормальным.

За оценку асимметрии распределения отвечает коэффициент асимметрии:

В пакете Microsoft Excel за вычисление коэффициента асимметрии отвечает функция = СКОС(исходная выборка).

За оценку «вытянутости» распределения отвечает эксцесс:

В пакете Microsoft Excel за вычисление эксцесса отвечает выражение = ЭКСЦЕСС(исходная выборка).

Алгоритм критерия Жарка-Бера:

1) Выдвинуть гипотезу H о нормальном распределении выборки.

2) Вычислить фактическое значение критерия по формуле:

3) Определить табличное значение критерия на основе специальных таблиц критических значений Пирсона на уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 2. Это значение равно 5,991.

Уровень значимости – это вероятность ошибиться, утверждая, что распределение ненормальное. Общепринятым является вероятность ошибки не превышающая 5%.

Число степеней свободы, в данном случае, отвечает за количество параметров в формуле критерия: там участвуют асимметрия и эксцесс.

4) Если J - B >5,991, то гипотеза H о нормальном распределении выборки отклоняется, т.е. распределение не является нормальным.

Если J – B< 5,991, то гипотеза 0 H о нормальном распределении выборки принимается, т.е. распределение является нормальным.

Задание № 1

Сделать проверку на нормальность исходных данных

В Excel создать компьютерную модель решения задачи.

Для данных

1 Построить интервальный вариационный ряд (k=7)

2 Построить гистограмму распределения

3 Построить ящик с усами

Квартили – это значения признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равновеликие части.

Различают:

нижнюю квартиль, отделяющую ¼ часть совокупности с наименьшими значениями при-знака;

среднюю квартиль – медиану;

верхнюю квартиль, отделяющую ¼ часть совокупности с наибольшими значениями при-знака.

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:

где	– нижняя граница интервала, содержащего нижнюю квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой, превышающей ¼ выборки);
– нижняя граница интервала, содержащего верхнюю квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой, превышающей ¾ выборки);
h – длина интервала;
– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему ниж-нюю квартиль;
– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему верх-нюю квартиль;
частота интервала, содержащего нижнюю и верхнюю квартили соответственно.

Квартильный размах – разница между верхней и нижней квартилями:

Квартильный размах охватывает 50% значений выборки.

Медиана расположена не симметрично относительно ящика. Окончательные выводы о нормальности распределения будут сделаны ниже после использования аналитического теста.

4 Применить критерий Жарка-Бера