С помощью векторного произведения записываются очень многие уравнения физики. Сразу видно, например, что момент силы равен векторному произведению радиус-вектора на силу:
N = r ´ F
(это краткая запись трех уравнений: Nx = yFz - zFy и т.д.)
Аналогично, момент импульса
L = r ´ p
Векторная форма динамического закона вращения в трехмерном пространстве напоминает уравнение Ньютона (F = d p / dt):
N = d L / dt
Если сложить аналогичные уравнения для многих частиц, то получим, что внешний момент сил, действующих на систему, равен скорости изменения полного момента количества движения:
N внеш = d L полн/ dt
При N внеш = 0 получаем закон сохранения момента количества движения:
если на данную систему не действуют никакие моменты сил, то ее момент количества движения не изменяется.
А что можно сказать об угловой скорости? Вектор ли она? Да.
Предположим, что тело одновременно вращается вокруг двух осей (тело может находиться, например, в коробке и вращаться там вокруг некоторой оси, а сама коробка в свою очередь вращается вокруг какой-то другой оси). Результатом такого сложного движения будет вращение тела вокруг некоторой новой оси. Эта новая ось может быть найдена следующим образом. Если вращение в плоскости ху представить как вектор, направленный вдоль оси z, длина которого равна скорости вращения, а в виде другого вектора, направленного вдоль оси у, изобразить скорость вращения в плоскости zx, то, сложив их по правилу параллелограмма, получим результат, величина которого говорит о скорости вращения тела, а направление определяет плоскость вращения. Попросту говоря, угловая скорость в самом деле есть вектор, для которого скорость вращения в трех плоскостях представляет прямоугольные проекции вектора на оси, перпендикулярные этим плоскостям. Это не самоочевидно, а доказывается с помощью рассмотрения перемещения частиц твердого тела за бесконечно малый промежуток времени D t.
Примеры использования вектора угловой скорости
Скорость v какой-то точки (характеризуемой радиус-вектором r) тела, вращающегося с угловой скоростью w можно задать выражением v = w ´ r.
Кориолисову силу инерции во вращающейся системе отсчета можно записать в виде F K = 2 m v ´ w. Иначе говоря, если в системе координат, вращающейся со скоростью w, частица движется со скоростью v и мы хотим описать ее движение через величины этой вращающейся системы, то необходимо добавлять еще псевдосилу F K.
Гироскоп
Рассмотрим закон сохранения момента количества движения на примере быстро вращающегося колеса, или гироскопа (рисунок). Если стать на крутящийся стул и держать вращающееся колесо в горизонтальном положении, то его момент количества движения будет направлен горизонтально. Момент количества движения относительно вертикальной оси нельзя изменить из-за фиксированного направления оси стула (трением пренебрегаем). Если теперь повернуть ось с колесом вертикально, то колесо приобретет момент количества движения относительно вертикальной оси. Однако система в целом (колесо, человек и стул) не может иметь вертикальной компоненты, поэтому человек вместе со стулом должен крутится в направлении, обратном вращению колеса, чтобы скомпенсировать его.
Самое удивительное, в чем следует разобраться, это откуда берутся силы, раскручивающие человека вместе со стулом, когда он поворачивает ось гироскопа вертикально.
На рисунке показано колесо, быстро вращающееся вокруг оси у, т.е. его угловая скорость направлена по этой оси. В ту же сторону направлен и момент количества движения. Предположим теперь, что мы хотим вращать колесо относительно оси х с малой угловой скоростью W; какая сила для этого требуется? Через малый промежуток времени D t ось займет новое положение, отклонившись от горизонтального положения на угол Dq. Поскольку основная часть момента количества движения происходит от вращения колеса (медленное движение вокруг оси х дает очень малый вклад), мы видим, что вектор момента количества движения изменяется. Он остается тем же самым по величине, однако направление его меняется на угол Dq. Величина вектора D L поэтому равна D L = L 0Dq; в результате возникает момент силы, равный скорости изменения момента количества движения N = D L /D t = L 0(Dq/D t) = L 0W. Учитывая направления величин, получим, что N = W ´ L 0.
Таким образом, если W и L 0 направлены горизонтально (рисунок), то N направлен вертикально. Чтобы уравновесить такой момент, к концам оси в горизонтальном направлении должны быть приложены силы F и - F. Откуда берутся эти силы, кто их прикладывает? Человек, своими руками, когда старается повернуть ось колеса в вертикальное положение. Но, третий закон Ньютона требует, чтобы равные и противоположно направленные силы (и равный, но противоположно направленный момент) действовали на человека. Они и заставляют его крутиться вокруг вертикальной оси z в противоположном направлении.
Этот результат можно обобщить на быстро вращающийся волчок. В обычном вращающемся волчке сила тяжести, действующая на центр масс, создает момент относительно точки соприкосновения волчка с полом (рисунок). Этот момент действует в горизонтальном направлении и заставляет волчок прецессировать, т.е. ось его будет описывать круговой конус вокруг вертикальной оси. Если W - угловая скорость прецессии (направленная вертикально), то можно снова получить
N = d L / dt = W ´ L 0
Таким образом, если к быстро вращающемуся волчку приложить момент сил, то возникнет прецессия в направлении этого момента, т.е. под прямым углом к силам, создающим момент.
Кажется очень странным, что, будучи запущенным, гироскоп не падает под действием силы тяжести, а движется вбок. Как это может случиться, что направленная вниз сила тяжести, которую мы хорошо знаем и чувствуем, заставляет его двигаться вбок? Происходит следующее. Когда мы держим гироскоп за ось, так что он никак не может прецессировать (но сохраняет свое вращение), то на него не действуют никакие моменты сил, даже момент силы тяжести, поскольку своими пальцами мы компенсируем его. Но стоит только освободить ось, как в тот же момент на нее подействует момент силы тяжести. Каждый решит, что конец оси должен при этом падать, и он действительно начинает падать. Но поскольку он падает, то, стало быть, он вращается и тем самым создает момент сил. Это сообщает оси гироскопа движение вокруг вертикальной оси такое же, как и при постоянной прецессии. Однако вскоре скорость начинает превышать скорость при постоянной прецессии, поэтому ось начинает подниматься вверх до прежнего уровня. В результате конец оси описывает циклоиду. Обычно это очень быстрое, незаметное для глаз движение, к тому же оно скоро затухает благодаря трению в подшипниках, а выживет только «чистая» прецессия. Колебания и отклонения от главной прецессии называются нутацией (рисунок).
