Как уже упоминалось, задача о трионе представляет собой двумерный вариант квантовомеханической задачи трех тел, связанных кулоновским взаимодействием. Как и в трехмерном случае, ее невозможно точно решить в общем случае, пользуясь только аналитическими методами. Даже численное решение этой задачи требует определенных усилий. Однако задача о трионе - далеко не первый в квантовой механике случай задачи трех тел, связанных кулоновским взаимодействием. Действительно, в различное время возникали аналогичные, главным образом трехмерные задачи и, прежде чем перейти к дальнейшему рассмотрению триона, мы вкратце остановимся на них и упомянем некоторые пути их решения.
Оказывается, помимо трионов, в обычных экспериментах встречается не так уж много качественно различных квантовомеханических кулоновских систем, состоящих из трех частиц. Более того, во многих из этих систем, вследствие особенностей их строения, возникают один или несколько малых параметров, что позволяет серьезно упростить их рассмотрение.
Кулоновские системы трех тел возникают, за несколькими исключениями, при изучении атомов и молекул. В этом случае единственное из чего они могут состоять - это легкие отрицательно заряженные электроны и тяжелые положительно заряженные ядра, заряд которых либо равен, либо кратен заряду электрона. Исходя из такого набора, можно сформулировать только две качественно различных задачи.
Во-первых, это задача о системе с двумя ядрами,, связанными одним электроном. Причем заряд ядер в этом случае, вследствие их взаимного кулоновского отталкивания, должен равняться по модулю заряду электрона. Характерный представитель такой системы - это молекула водорода H+2.
Во-вторых, это задача об атоме с двумя электронами. Здесь ядро не обязательно должно иметь единичный заряд и желательно рассмотреть два различных случая:
1. Заряд ядра больше заряда электрона. Крайний, и поэтому наиболее интересный представитель этого класса - атом гелия Не (заряд ядра только в 2 раза превосходит заряд электрона).
2. Заряд ядра равен заряду электрона. Этот случай особенно интересен тем, что электроны взаимодействуют друг с другом с той же силой, что и с ядром, поэтому ближний к ядру электрон полностью экранирует его для дальнего электрона, что серьезно меняет волновую функцию этой системы. Характерный представитель в этом случае - это отрицательный ион водорода H-.
Во всех этих системах (молекула H+2, атом Не и ион H-) есть, по крайней мере, один малый параметр - малая масса электрона по сравнению с массой ядра. Это указывает на то, что их рассмотрение во многом можно упростить. Посмотрим по порядку, как можно найти энергию основного состояния этих систем:
1. Молекула водорода H+2.
В этом случае, из-за малой массы электрона по сравнению с протоном, волновые функции электрона и ядер можно разделить. То есть, можно считать, что электрон занимает наиболее энергетически выгодное положение в потенциале двух неподвижных ядер, а сами ядра адиабатически движутся в некотором эффективном связывающем потенциале. Задача в этом случае распадается на две существенно более простые.
2. Атом гелия Не.
В этой задаче можно сделать сразу два упрощения. Во-первых, вследствие малого отношения масс электрона и ядра, последнее можно считать неподвижным. Во-вторых, так как взаимодействие между электронами минимум в два раза меньше, чем их притяжение к ядру, то энергию основного состояния даже атома гелия можно с хорошей точностью найти, оценивая взаимодействие двух электронов по теории возмущений [4]. Также существенно упрощает задачу неспособность электрона в одиночку полностью заэкранировать потенциал ядра. То есть даже дальний от ядра электрон испытывает кулоновское притяжение ядра, пусть даже с меньшим эффективным зарядом. Это позволяет получить энергию основного состояния гелия помимо теории возмущений простыми вариационными процедурами. В этом случае неизвестная точная волновая функция электронов в атоме гелия заменяется удобной аналитической формой, включающей некоторые произвольные параметры. С помощью этой пробной функции вычисляется энергия гелия, как функция от этих подгоночных параметров. Минимальное относительно всех параметров значение этой энергии и принимается за оценку энергии основного состояния атома гелия. Точность этого метода напрямую зависит от того, насколько близка оказалась выбранная подгоночная функция к точной функции электронов в гелии. Отсутствие полного экранирования электроном ядра как раз и дает возможность, пользуясь простыми методами, "угадать" волновую функию этого атома.
3. Отрицательно заряженный атом водорода H-. От разобранного выше атома гелия его отличает отсутствие второго "малого параметра": так как заряды всех входящих в H- частиц равны, то взаимодействие между электронами имеет практически ту же величину, что и взаимодействие каждого из них с ядром. Из-за этого становится невозможным какое-либо разбиение этой задачи на менее сложные составляющие, что затрудняет её решение. Для нахождения энергии основного состояния иона H- используются главным образом варидционные методы. Первый вариационный расчет этого иона был проделан еще в 1929 году Бете [5] с помощью метода, предложенного Хиллераасом в том же году [6], в связи с возникшей необходимостью рассчитать взаимодействие иона H- с ионом Li+ в соединении гидрида лития LiH. Позже, в сороковые годы, свойства отрицательного иона водорода оказались важны для объяснения непрозрачности атмосферы Солнца и солнцеподобных звезд.
Для полноты к рассмотренным системам еще нужно добавить ион позитрония (связанное состояние двух электронов и позитрона), при расчетах которого, также как и для иона H-, используются вариационные процедуры.
Пожалуй, на этом можно закончить список принципиально различных кулоновских трехчастичных задач, возникающих в экспериментальной практике. Другие кулоновские трехчастичные системы, такие как носители заряда, локализованные на кулоновских центрах или атом с мезонами вместо электронов, как правило, можно рассматривать аналогично разобранным выше задачам об ионе H- и молекуле H+2.