1. Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений.
Два уравнения с одной переменной 
и 
называются равносильными, если множества их корней совпадают, т.е. уравнения имеют одинаковые корни или не имеют корней.
Например,
Уравнения (1) и (2) равносильны.
Замену одного уравнения другим равносильным ему уравнением называют равносильным преобразованием.
Равносильные преобразования уравнений:
1) Перенос слагаемых (с противоположным знаком) из одной части уравнения в другую.
2) Умножение / деление обеих частей уравнения на число неравное нулю.
3) Применение тождеств, т.е. равенств, справедливых для каждого 
4) Возведение уравнения в нечетную степень.
Замену уравнения 
уравнением 
, называют возведением уравнения в степень n.
Например:
Решим уравнение 
Возведем обе части уравнения в 3-ю степень.
Применяем формулу куба разности в правой части уравнения, переносим все слагаемые с противоположным знаком из правой части в левую, приводим подобные слагаемые:
Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому корни уравнения (2) являются корнями уравнения (1).
Ответ: 0; 2; -8.
5) Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.
Замену уравнения 
уравнением 
, называют извлечением корня степени n из обеих частей уравнения.
Например:
Решим уравнение 
Извлекаем корень 11-й степени из обеих частей уравнения:
Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому корень уравнения (2) является корнем уравнения (1).
Ответ: -9.
6) Логарифмирование показательного уравнения.
Замену уравнения 
уравнением 
называют логарифмированием показательного уравнения.
Решим уравнение 
Прологарифмируем показательное уравнение по основанию 5:
Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому корни уравнения (2) являются корнями уравнения (1).
Ответ: 1; 2.
2. Уравнения-следствия. Неравносильные преобразования уравнений
Если каждый корень уравнения 
является в то же время корнем уравнения
, то уравнение является следствием уравнения .
Например:
Корень уравнения (1) является одним из корней уравнения (2), значит уравнение (2) является следствием уравнения (1).
Замену одного уравнения другим, которое является его следствием называется переходом к уравнению-следствию.
При переходе к уравнению следствию возможна потеря корней и появление посторонних корней, поэтому необходимо в подобном случае выполнять проверку полученных корней.
Преобразования, которые приводят к уравнению-следствию:
1) Возведение обеих частей уравнения в четную степень.
Например:
Решим уравнение 
Возведем обе части уравнения в 4-ую степень:
Выполнив проверку, т.е. подставив корни уравнения вместо х в исходное уравнения, получим, что х =-1 является посторонним корнем.
Ответ: 1.
2) Потенцирование логарифмического уравнения.
Замену уравнения 
уравнением 
называют потенцированием логарифмического уравнения.
Например:
Решим уравнение 
Пропотенцируем логарифмическое уравнение по основанию 10:
Применяем основное логарифмическое тождество
Выполнив проверку, т.е. подставив корни уравнения вместо х в исходное уравнения, получим, что х =1 является посторонним корнем.
Ответ: 3.
3) Освобождение от знаменателя
Замену уравнения 
уравнением 
называют освобождением от знаменателя.
Например:
Решим уравнение
Выполнив проверку, т.е. подставив корни уравнения вместо х в исходное уравнения, получим, что х =1 является посторонним корнем.
Ответ: 3.
4) Применение формул (логарифмических, тригонометрических)
Например:
Решим уравнение 
В левой части уравнения применяем свойство логарифмов, в правой части – представляем 3 в виде логарифма по основанию 2:
Выполнив проверку, т.е. подставив корни уравнения вместо х в исходное уравнения, получим, что х =-3 является посторонним корнем.
Ответ: 3.
Решите уравнения, указав какое преобразование применили:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 