Пусть имеется нормально распределенная случайная величина x,, определенная на множестве объектов некоторой генеральной совокупности. Известно, что D x = s 2. Математическое ожидание M x неизвестно. Допустим, что имеются основания предполагать, что M x = a, где a – некоторое число (такими основаниями могут быть ограниченные сведения об объектах генеральной совокупности, опыт исследования подобных совокупностей и т. д.). Будем считать также, что имеется другая информация, указывающая на то, что M x = a 1, где a 1 > a.
I. Выдвигаем нулевую гипотезу H 0: M x = a;
при конкурирующей гипотезе H 1: M x = a 1.
Делаем выборку объема n: x 1, x 2,..., xn . В основе проверки лежит тот факт, что случайная величина (выборочная средняя) распределена по нормальному закону с дисперсией s 2/ n и математическим ожиданием, равным a в случае справедливости H 0, и равным a 1 в случае справедливости H 1.
Очевидно, что если величина оказывается достаточно малой, то это дает основание предпочесть гипотезу H 0 гипотезе H 1. При достаточно большом значении более вероятна справедливость гипотезы H 1. Задачу можно было бы поставить так: требуется найти некоторое критическое число, которое разбивало бы все возможные значения выборочной средней (в условиях данной задачи это все действительные числа) на два полубесконечных промежутка. При попадании в левый промежуток следовало бы принимать гипотезу H 0, а при попадании в правый промежуток предпочтение следовало бы оказать гипотезе H 1. Однако на самом деле поступают несколько иначе.
В качестве статистического критерия выбирается случайная величина
,
распределенная по нормальному закону, причем Mz = 0 и Dz = 1 (это следует из свойств математического ожидания и дисперсии) в случае справедливости гипотезы H 0. Если справедлива гипотеза H 1, то
Mz = a * = (a 1 – a) /s, Dz = 1.
На рисунке 1. изображены графики p 0(z) и p 1(z) – функций плотности распределения случайной величины z при справедливости гипотез H 0 и H 1, соответственно.
Если величина , полученная из выборочных данных, относительно велика, то и величина z велика, что является свидетельством в пользу гипотезы H 1. Относительно малые значения приводят к малым значениям z, что свидетельствует в пользу гипотезы H 0. Отсюда следует, что должна быть выбрана правосторонняя критическая область. По принятому уровню значимости a (например a = 0,05), используя то, что случайная величина z распределена по нормальному закону, определим значение K кр из формулы
a = P (K кр < z < ¥) = F(¥) – F(K кр) = 0,5 – F(K кр).
Отсюда , и осталось воспользоваться таблицей функции Лапласа для нахождения числа K кр.
Если величина z, полученная при выборочном значении , попадает в область принятия гипотезы (z < K кр), то гипотеза H 0 принимается (делается вывод, что выборочные данные не противоречат гипотезе H 0). Если величина z попадает в критическую область, то гипотеза H 0 отвергается.
В данной задаче может быть подсчитана мощность критерия:
Мощность критерия тем больше, чем больше разность a 1– a.
II. Если в предыдущей задаче поставить другое условие:
H 0: M x = a;
H 1: M x = a 1 , a 1 < a,
то сохранив смысл всех рассуждений, здесь придется рассматривать левостороннюю критическую область, как изображено на рисунке 2. Здесь, как и в предыдущем случае,
a * = (a 1 – a) /s, а величина K кр определяется из формулы
a = P (–¥ < z < K кр) = F(K кр) –F(–¥) = F(K кр) + .
Используя формулу –F(K кр) = F(– K кр), получаем:
F(– K кр) = .
Отметим, что по смыслу задачи здесь K кр – отрицательное число.
Значения z, вычисленные по выборочным данным, превышающие K кр, согласуются с гипотезой H 0. Если величина z попадает в критическую область (z < K кр), то гипотезу H 0 следует отвергнуть, считая предпочтительной гипотезу H 1.
III. Рассмотрим теперь такую задачу:
H 0: M x = a;
H 1: M x ¹ a.
В данном случае большие отклонения величины z от нуля в положительную или отрицательную сторону должны приводить к заключению о ложности гипотезы H 0, то есть здесь следует рассматривать двустороннюю критическую область, как изображено на рисунке 3.
Критическое значение K кр определяется с помощью соотношения
P (– K кр < z < K кр) = 1 – a = F(K кр) –F(– K кр) = 2F(K кр).
Из этого соотношения следует:F(K кр) =