Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой:
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2
Практическая часть
Задачи с окружностью, описанной около треугольника
Задача 1: Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.
 |
Дано: ∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ﮮ ACB = 75˚,
площадь ∆ BOC равна 16
Найти: радиус описанной окружности
Решение:
1. Проведем медианы AF, CE, BH
2. ∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный
3. ﮮ HBC = 90˚ - ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ - 75˚ = 15˚
4. BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚
5. ﮮ COB = 180˚ - (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ - (15˚ + 15˚) = 150˚
6. S = 
∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника), SBOC = ∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ = ∙ R ∙ R ∙ = 
∙ R2; ∙ R2 = 16; R2 = 16: = 64; R = 
= 8
Ответ: R = 8
Задача 2: треугольник BMP с углом B, равным 45˚, вписан в окружность радиуса 6. Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.
Решение:
1. ﮮ MOP = 2 ﮮMBP
ﮮ MOP = 2 ∙ 45˚ = 90˚, следовательно, ∆ MOP – прямоугольный
2. MP2 = OM2 + OP2
MP2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 36 ∙ 2
MP = 
3. MK = KP = 0,5 ∙ MP
MK = KP = 0,5 ∙ 
= 
4. MK ∙ KP = BK ∙ KC
= BK ∙ 3
BK ∙ 3 = 9 ∙ 2
BK ∙ 3 = 18
BK = 6
Ответ: BK = 6
Задача 3: остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основанием CD, равным 16, вписан в окружность с центром O и радиусом 10. Найдите площадь треугольника BOC.
 |
Решение:
1. ∆ BCD – равнобедренный, CD = 16, следовательно, DH = HC = 8
2. ∆ DOH – прямоугольный
По теореме Пифагора:
OH2 = 102 – 82
OH2 = 100 – 64 = 36
OH = 6
3. BH = BO + OH = 10 + 6 =16
4. По теореме Пифагора:
BC2 = 162 + 82 = 256 + 64 = 320
BC = 
5. ∆ KBO ~ ∆ HBC
6. SBHC = 
7. 
SBOK = 20
8. SBOC = 2 ∙ SBOK = 2 ∙ 20 = 40
Ответ: SBOC = 40
Задачи с окружностью, вписанной в треугольник
Задача 4: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.
 |
Решение:
1. AC = 2r = 10 м
2. Пусть AM = AK = x, MC = CL = y
По теореме Пифагора:
x + y = 10
(x + 2)2 + (y + 2)2 = (x + y)2
y = 10 – x
(x + 2)2 + (10 – x + 2)2 = (x + 10 – x)2
(x + 2)2 + (12 – x)2 = 100
x2 + 4x + 4 +144 – 24x + x2 = 100
2x2 – 20x + 148 = 100
2x2 – 20x + 48 = 0
x2 – 10x + 24 = 0
x1 = 6, x2 = 4
y = 10 – x
x = 6 x = 4
y = 4 y = 6
3. Так как нужно найти больший катет, то берем y = 6
BC = 2 + 6 = 8 м
Ответ: BС = 8 м
Задача 5: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.
 |
Дано: ∆ BCD – равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10
Найти: KA
Решение:
1. CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25
2. CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15
3. BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30
4. ∆ CKA ~ ∆ CBD (ﮮC – общий, CK: CB = CA: CD), следовательно KA: BD = CA: CD, KA: 30 = 10: 25, KA = 10 ∙ 30: 25 = 12
Ответ: KA = 12
1. BC = x + y
BC = 18 + 12 = 30 (м)
Ответ: 30 м – диаметр описанной окружности
Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника
Задача 6: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота – 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.
 |
Решение:
1. Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.
2. АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 – х.
3. АО2 = АК2 + КО2; ОВ2 = ВН2 + НО2;
так как ОА2=ОВ2, получим:
АК2 + КО2 = ВН2 + НО2
90 + 64 – 16x = 0
16x = 154
ОВ2 = ВН2 + НО2
Ответ: OB = 10,625