Напряжение в наклонной площадке




Проведем плоскость наклоненную к осям координат. Получим фигуру тетраэдра , сливающуюся с точкой О при бесконечном уменьшении граней.

На каждой боковой грани действуют свои напря-жения.

На наклонной площад-ке действует напряжение . Пусть N - нормаль к наклон-ной площадке. Наклон пло-щадки к осям координат полностью определяется ее нормалью, а точнее направ-ляющими косинусами

 

 

Пусть площадь

Тогда площади

 

Полное напряжение можно разложить на 3 составляющие , действующие параллельно осям координат. Запишем условия равновесия тетраэдра, проецируя все действующие на его гранях силы на оси координат

 

(1)

 

Уравнения (1) могут быть использованы для определения внешних сил . В этом случае они играют роль уравнений связи между внешними и внутренними силами и называются условиями на контуре тела. Величину полного напряжения определим как

 

(2)

 

Нормальное напряжение к наклонной площадке определим, проецируя полное напряжение или его составляющие на нормаль N. Тогда

 

(3)

 

Подставляя из (1) значения с учетом парности касательных напряжений, запишем

 

(4)

 

Касательное напряжение в наклонной площадке найдем по правилу паралеллограмма

 

(5)

 

Главные напряжения

Величина действующих в наклонной площадке нормальных и касательных напряжений зависит от угла наклона площадки к осям координат. Отложим от начала координат вдоль нормали N некоторый вектор , величина которого составляет или , где - некоторая произвольная постоянная. Тогда координаты конца вектора запишутся (проекции вектора по осям)

 

 

отсюда

 

 

Подставив эти значения в уравнение (4), получим

 

(6)

 

Записанное выражение является уравнением поверхности второго порядка, отнесенное к центру, поскольку здесь отсутствуют координаты в первой степени.

При изменении положения наклонной площадки будут изменяться как направление, так и координаты конца вектора , однако конец этого вектора будет всегда совпадать с поверхностью, описанной уравнением (6).

Отсюда следует, что данная поверхность полностью определяется напряженным состоянием точки и носит название поверхности напряжений Коши.

Из аналитической геометрии известно, что уравнение (6) второго порядка может быть преобразовано вращением координатной системы до совпадения осей координат с осями самой поверхности. Тогда пропадут члены, содержащие произведения координат, т.е. обратятся в нули. Следовательно, нулевые значения примут Из этого следует, что в точке тела, находящегося в напряженном состоянии, всегда можно выбрать 3 взаимноперпендикулярные площадки, в которых действуют только нормальные напряжения и отсутствуют касательные напряжения. Такие площадки называют главными, действующие в них напряжения – главными нормальными напряжениями, а направления этих напряжений – главными направлениями.

Таким образом, напряженное состояние точки вполне определено, если даны направления трех главных осей, обозначаемых индексами 1, 2, 3 вместо и заданы величины трех главных нормальных напряжений .

Учитывая сказанное, из выражения (1) запишем компоненты напряжений по осям

 

(7)

 

Тогда полное напряжение из уравнения (2) будет

 

,

нормальное напряжение к наклонной площадке из уравнения (3) примет вид

 

,

 

а касательное из (5) запишется как

 

.

 

Эллипсоид напряжений

 

Из выражений (7) определим направляющие косинусы

 

.

 

Из аналитической геометрии, известно что . Тогда можно записать

 

(8)

Это уравнение эллипсоида, отнесенное к центру и главным осям, который называют эллипсоидом напряжений (эллипсоидом Ламе). Полуоси его равны соответственно величинам главных напряжений, причем .

Любой отрезок, проведенный от центра до пересечения с поверхностью эллипсоида, представляет собой полное напряжение на площадке, перпендикулярной к отрезку, а проекции его на оси координат 1, 2, 3 являются составляющими .

При равенстве двух главных напряжений эллипсоид напряжений обращается в эллипсоид вращения, а при равенстве трех главных напряжений – в шар.

В последнем случае любые 3 взаимноперпендикулярные оси становятся главными и во всех площадках действуют одинаковые, равные между собой, нормальные напряжения (всесторонне равномерное сжатие или растяжение).

Плоское напряженное состояние с некоторым приближением может быть реализовано при растяжении тонкой пластины по контуру. Схемы объемного состояния характерны для большинства процессов ОМД.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: