Формулы объема
Объемы простых тел. Прямоугольный параллелепипед, Цилиндр, Пирамида, Конус, Сфера, Параллелепипед.
Объемы и площади поверхностей правильных тел.
Общая информация об объемах и площадях поверхностей правильных тел приведена в таблице.
| Название фигуры | Площадь и объем фигуры S | Название фигуры | Площадь и объем фигуры S |
| Прямоугольный параллелепипед | 
| Цилиндр | 
|
| Пирамида | 
| Конус | 
|
| Сфера | 
| Параллелепипед | 
|
Пример 1.Расчет объема прямоугольного бака.
Бак для воды имеет форму прямоугольного параллелепипеда длиной 1 м, шириной 65 см и высотой 30 см. Определить объем бака в м3, см3, литрах
Решение:
Объем прямоугольного параллелепипеда равен l*b*h
а)Vбака=1*0.65*03=0.195 м3
б) 1 м 315000 мм2=315000/100=3150 см2
1 м3=106 см3, значит, 0.195 м3=0.195*106=195000 см3
в) 1 литр=1000 см3, значит 195000 см3=195 л
Пример 2. Расчет объема и площади поверхности трапецеидальной призмы.
Вычислить объем и общую площадь поверхности призмы, показанной на рис.
Тело, показанное на рис. - это трапецеидальная призма.
Так как объем = площадь поперечного сечения * высота, то
V=1/2*(10+5)*4*20=30*20=600 cм3
Так как площадь поверхности вычисляется сложением суммы площадей двух трапеций и суммы площадей четырех прямоугольников, то
S=(2*30)+3(5*20)+(10*20)=560 см2
Пример 3. Расчет объема и общей площади поверхности правильной пирамиды.
Определить объем и общую площадь поверхности правильной пирамиды с квадратным основанием, показанной на рис., если ее высота равна 15 см.
Решение:
Так как объем пирамиды =1/3(площадь основания)*высота, то
V=1/3*(5*5)*15=125 см3
Общая площадь поверхности включает площадь квадратного основания и площади четырех равных треугольников.
Площадь треугольника ADE=1/2*основание*(высота грани).
Высоту грани АС можно найти по теореме Пифагора из треугольника АВС, где АВ=15 см, ВС=1/2*3=1.5 см, и АС2=AB2+BC2=225+2.25=227.25
AC=15.07 cм
Следовательно, площадь треугольника ADE
SADE=1/2*3*15.07=22.605 см2
Общая площадь пирамиды S=(3*3)+4*22.605=99.42 cм2.
Пример 4. Расчет объема и общей площади поверхности конуса.
Определить объем и общую площадь поверхности конуса радиусом 4 см и высотой 10 см.
Объем конуса V=1/3πr2h =1/3*π42*10=167.5см3
Общая площадь поверхности равна сумме площади конической поверхности и площади основания, т.е. S=πrl+πr2
Из рисунка видно, что длину образующей l можно найти по теореме Пифагора.
l2=102+42=116 см
l=10,8 cм
Следовательно, общая площадь поверхности равна
S=π*4*10.8)+(π*42=185.89 cм2
Пример 5. Расчет объема и общей площади поверхности призмы.
На рис. показан деревянный профиль. Найдем: а) его объем в м3
б) общую площадь его поверхности
Профиль представляет собой призму, поперечное сечение которой состоит из прямоугольника и полукруга. Поскольку радиус полукруга равен 6 см, диаметр равен 12 см.
Тогда размеры прямоугольника 12*11 см
Площадь поперечного сечения S.=(11*12)+1/2* π 62=188,52 см2
Поскольку объем деревянной детали равен произведению площади поперечного сечения на длину, то
a) V=188,52*200=37704 см3=37704 см3/106= 0,037704 м3
б) Общая площадь включает два торца (площадь каждого 188,52 см2), три прямоугольника и криволинейную поверхность (которая представляет собой полуцилиндр). Следовательно, общая площадь поверхности
S=(2*188,52)+2*(11*200)+(12*200)+1/2*(2π*6*200)=377,04+4400+2400+3768=10945,04 см2=1,094504 м2.
Пример 6. Расчет объема и общей площади поверхности сложного бойлера.
Бойлер состоит из цилиндрической секции длиной 9 м и диаметром 5 м, к одному концу которой присоединена полусферическая секция диаметром 5 м, а к другому концу - коническая секция высотой 3 м и диаметром основания 5 м. Вычислить объем бойлера и общую площадь его поверхности.
Vполусферы P =2/3*πr3 =2/3*π*2,53 =10,42 π м3
V цилиндра Q = π r2h=π*2,52*9=56,25 π м3
V конуса R =1/3 π r2=1/3*π*2,52*3=6,25π м 3
Общий объем бойлера V= 10,42 π м3+56,25 π м3+6,25π м 3=72,92π=228,97 м 3
S полусферы P. =2*(πr2)=2*π*2,52=12,5π м2
S бок. поверхности цилиндра Q. =2πrh=2*π*2,5*9=45π м2 (т.к. этот цилиндр представляет собой трубу без оснований)
Длина образующей конуса l рассчитывается по теореме Пифагора из треугольника ABC;
значит
l=(32+2,52)1/2=3,9 м.
S конуса R. =πrl=π*2,5*3,9=9,75 π м 2
Общая площадь поверхности бойлера
S= 12,5π+45π+9,75 π=67,25π=211,2 м 2
Все формулы объема геометрических тел
Расчет объема куба
a - сторона куба
Формула объема куба, (V):
Объем прямоугольного параллелепипеда
a, b, c- стороны параллелепипеда
Формула объема параллелепипеда, (V):
Формула вычисления объема шара
R- радиус шара
π ≈ 3,14
Объем шара, (V):
Объем шарового слоя
h - высота шарового слоя
R - радиус нижнего основания
r - радиус верхнего основания
π ≈ 3,14
Объем шарового слоя, (V):
Объем шарового сектора
h - высота сегмента
R - радиус шара
π ≈ 3,14
Объем шарового сектора, (V):
Объем шарового сегмента, формула
Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.
R - радиус шара
h - высота сегмента
π ≈ 3,14
Объем шарового сегмента, (V):
Как вычислить объем цилиндра?
h - высота цилиндра
r - радиус основания
π ≈ 3,14
Объем цилиндра, (V):
Как найти объем конуса?
H- высота конуса
R- радиус основания
π ≈ 3,14
Объем конуса, (V):
Формула объема усеченного конуса
R- радиус нижнего основания
r- радиус верхнего основания
h- высота конуса
π ≈ 3,14
Объем усеченного конуса, (V):
Расчет объема пирамиды
h - высота пирамиды
S - площадь основания ABCDE
Объем пирамиды, (V):
Расчёт объёма усечённой пирамиды
h - высота пирамиды
Sниж - площадь нижнего основания, ABCDE
Sверх - площадь верхнего основания, abcde
Объем усеченной пирамиды, (V):
Найти объем правильной пирамиды
Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.
h - высота пирамиды
a - сторона основания пирамиды
n - количество сторон многоугольника в основании
Объем правильной пирамиды, (V):
Объем правильной треугольной пирамиды
Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.
h - высота пирамиды
a - сторона основания
Объем правильной треугольной пирамиды, (V):
Объем правильной четырехугольной пирамиды
Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.
h - высота пирамиды
a - сторона основания
Объем правильной четырехугольной пирамиды, (V):
Объем правильного тетраэдра
Правильный тетраэдр- пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.
а -ребро тетраэдра
Объем правильного тетраэдра (V):
Обращаем внимание ОБЯЗАТЕЛЬНО!!!
| Объем | ||
| 1 м3 | кубический метр | 1 м3 = 1 000 дм3 |
| 1 дм3 | кубический дециметр | 1 дм3 = 1 000 см3 = 10-3 м3 |
| 1 см3 | кубический сантиметр | 1 см3 = 1 000 мм3 = 10-6 м3 |
| 1 мм3 | кубический миллиметр | 1 мм3 = 0,001 см3 = 10-9 м3 |
| 1 л | литр | 1 л = 1 дм3 = 1000 см3 |