Чётность
Определение. Целое число называется чётным, если оно делится на 2, и нечётным в противном случае.
Пример. Числа 2, -100, 14, 0, -30 чётные, а числа 1, -117, 37, -5 нечётные. Можно "не обращать внимания на минус": от того, отрицательное число или положительное, его чётность не зависит. Число 0 делится на любое натуральное число, в частности, на 2. Следовательно, 0 — чётное число.
Каждое натуральное число n можно представить в виде 
, где b — последняя цифра числа. Например, если n = 59146, то b = 6,a = 5914. Тогда число n можно представить в виде n = 10a + b. Поскольку 10a делится на 2, для того, чтобы число было чётным, необходимо, чтобы b было чётным. Таким образом, чётность числа определяется чётностью его последней цифры. То есть число будет чётным, если оно оканчивается на чётную цифру (0, 2, 4, 6, 8) и нечётным, если оканчивается на нечётную цифру (1, 3, 5, 7, 9).
Сумма двух чисел.
Рассмотрим последнюю цифру суммы (или разности) двух чисел. Она, очевидно, зависит только от последних цифр слагаемых. Для цифр очевидно, что сумма (или разность) двух чётных цифр чётна, чётной и нечётной цифры — нечётна, нечётных цифр — чётна. Тогда сумма (или разность) двух чётных чисел чётна, чётного и нечётного — нечётна, двух нечётных чисел — чётна:
Пример. Рассмотрим сумму 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 99. Количество чисел в сумме равно половине от количества всех чисел от 1 до 100, то есть их 50. Разобьём их на пары:
В каждой паре сумма чётна, поэтому и общая сумма чётна.
Утверждение. Сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётна.
Чётность произведения.
Очевидно, что если хотя бы один из двух сомножителей чётен, то произведение будет чётным, поскольку будет делиться на 2. Таким образом, произведение двух чисел нечётно, только если оба сомножителя нечётны.
Пример.
Замечание. Понятно, что если количество сомножителей больше двух, то произведение чётно тогда и только тогда, когда чётен хотя бы один из сомножителей.
Задачи
1. Конь вышел с поля А1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.(С.А. Генкин.Ленинградский математический кружок)
2. Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю. (С.А. Генкин.Ленинградский математический кружок)
3. Можно ли разменять 25 р. десятью купюрами достоинством 1, 3 и 5 рублей? (Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике.)
4. Рассмотрим первые 50 натуральных чисел. Докажите, что сумма никаких 36 из них не равна сумме 14 других (Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике.)
5. В прямоугольном треугольнике длины сторон — натуральные взаимно простые числа. Докажите, что длина гипотенузы — нечетное число, а длины катетов имеют разную четность.(Алфутова, Н.Б. Алгебра и теория чисел.Сборник задач для математических школ)
6. Парламент состоит из двух одинаковых палат. В голосовании участвовали все депутаты, причем воздержавшихся не было. Когда объявили, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования фальсифицированы. Как он это понял? (Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике.)
Задачи для домашней работы
1. Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать? (С.А. Генкин.Ленинградский математический кружок)
2. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 45 045? (Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике.)