| (2.78) |
 ,
| (2.79) |
для которых граничные условия имеют вид
 .
| (2.80) |
а начальные условия таковы
| (2.81) |
для (2.78)
| (2.82) |
для (2.79).
Процесс решения разбивается на два этапа: I – нахождение частных решений; II – нахождение общего решения и удовлетворение начальным условиям.
I. Ищутся всевозможные частные решения (2.78) в виде
 .
| (2.83) |
В результате подстановки функции такого вида в уравнение (2.78) получаем
или 
.
Последнее уравнение распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения относительно функций 
и 
:
 .
| (2.84) |
 .
| (2.85) |
Как говорят, в уравнении (2.78) переменные разделены.
Подставляя (2.83) в граничные условия (2.80), получим
, откуда
| (2.86) |
(т.к. случай 
не представляет интереса, поскольку тогда 
).
Для определения функции 
получена з а д а ч а Ш т у р м а - Л и у в и л л я: найти такие значения параметра 
, при которых существуют нетривиальные решения уравнения (2.85), удовлетворяющие граничным условиям (2.86). Те значения параметра , для которых задача (2.85) – (2.86) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а сами решения – собственными функциями. Нетривиальные решения задачи (2.85) – (2.86) возможны лишь при значениях
Этим значениям 
соответствуют собственные функции
.
При 
общее решение уравнения (2.84) имеет вид
, где 
и 
произвольные постоянные.
Таким образом, произведения функций 
и 
образуют частные решения уравнения (2.78), удовлетворяющие краевым условиям (2.80)
.
II. При помощи собственных функций строится общее решение уравнения в частных производных, которое в силу свойства линейного однородного уравнения можно взять в виде комбинации полученных частных решений - ряда
 .
| (2.87) |
Для уравнения (2.78) общее решение имеет вид
 .
| (2.88) |
Подставляя решение (2.88) в начальные условия (2.81), определяют значения коэффициентов и 
, пользуясь разложением функций 
и 
в ряд Фурье (в ряд по системе собственных функций 
). В результате имеем
 ,  .
| (2.89) |
Решение уравнения теплопроводности (2.79) получается применением этой же схемы с той лишь разницей, что вместо уравнения (2.84) надо решать уравнение
или 
,
общее решение которого есть
где 
произвольные постоянные.
Следовательно, 
и общее решение (2.87) принимает вид
 .
| (2.90) |
Потребовав выполнения начального условия (2.82), коэффициенты будут найдены как коэффициенты разложения функции в ряд Фурье:
 .
| (2.91) |
Приведенные здесь решения для линейных однородных уравнений с однородными граничными условиями будут использованы также при рассмотрении неоднородных и однородных уравнений с однородными и неоднородными граничными условиями как составные части решений краевых задач.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.44.Найти закон колебания однородной струны, закрепленной на концах 
и 
. В начальный момент струна оттянута в точке 
на высоту 
(рис. 2.4) и затем отпущена без начальной скорости.
Решение. Задача сводится к решению уравнения
при граничных условиях 
и начальных условиях
,
где 
- уравнение прямой ОА, 
– уравнение прямой АВ (оба записываются как уравнение прямой с угловым коэффициентом).
Решение поставленной задачи определяется рядом (2.88)
,
где 
- коэффициенты Фурье для функций, которые вычисляются по формулам (2.89).
, где 
.
В нашем случае
.
Вычислим первый интеграл
Вычислим второй интеграл
Тогда
Определим .
, где 
.
В нашем случае 
, тогда 
и решение 
имеет вид
.
Полученный ряд описывает колебательный процесс: смещение 
точки 
струны в любой момент времени 
. Чтобы определить форму струны в момент 
, надо протабулировать функцию 
, ограничившись несколькими