Дифференциальные уравнения движения точки. Вторая основная задача динамики.
m(d2r/dt2)=Сум Fk(t,r,dr/dt)
m(d2S/dt2)=Сум Fkt(t,S,dS/dt)
m(V2/p)=Сум Fkn(t,S,dS/dt)
0=Сум Fkb (t,S,dS/dt)
Част случаи 2 зад дин.
1. Сила зависит от времени. Прямолин движ.
mx’’=F(t); x=P1(t1,C1)+C2
| Только от скорости.
mx’’=F(x’); x=G1(t1, C1)+C2
Сила зав только от координаты.
mx’’=F(x); x=g(t,C1,C2); m(dx’/dt)=F(x)
Вторая основная задача динамики. Начальные условия.
По заданной силе F, действующей на материальную точку данной массы т, требуется определить закон движения этой точки.
mx’’ = Fx(x,y,z,x’,y’,z’,t)
my’’ = Fy(x,y,z,x’,y’,z’,t)
mz’’ = Fz(x,y,z,x’,y’,z’,t)
х = x(t, С1, C2, С3, С4, C5, С6)
у = y(t, C1, С2 C3, C4, C5, С6)
z = z(t, C1 С2 C3, C4, C5, С6)
Чтобы получить решение конкретной динамической задачи, нужно задать дополнительно условия, позволяющие определить произвольные постоянные. В качестве таких условий обычно задают так называемые начальные условия, т. е. в какой-то определенный момент времени, например при t = 0, задают координаты движущейся точки Х0, Y0, Z0 и проекции ее скорости vOx,voy,vOz.
Решение системы дифференциальных уравнений движения материальной точки, удовлетворяющей заданным начальным условиям, называется задачей Коши.
Вторая основная задача динамики. Случай силы, зависящей только от времени и силы, зависящей только от скорости.
По заданной силе F, действующей на материальную точку данной массы т, требуется определить закон движения этой точки.
Сила зависит от времени. Прямолин движ.
mx’’=F(t); x=P1(t1,C1)+C2
Только от скорости.
mx’’=F(x’); x=G1(t1, C1)+C2
Сила зав только от координаты.
mx’’=F(x); x=g(t,C1,C2); m(dx’/dt)=F(x)
Понятие о механической системе. Масса и центр масс.
Механической системой материальных точек, или просто системой, в механике называется совокупность взаимодействующих между собой материальных точек. Системы материальных точек бывают изменяемые и неизменяемые. Абсолютно твердое тело представляет собой пример неизменяемой системы. Таким образом, неизменяемой системой называется система, расстояние между точками которой при ее движении остается постоянным.
Массой системы М назовем сумму масс всех точек системы.
Распределение масс характеризуется в первую очередь положением так называемого центра масс или центра инерции механической системы.
Центром масс механической системы называется геометрическая точка С, положение которой относительно выбранной системы координат определяется радиус-вектором гс, вычисляемым по формуле
Rc=Сум (mkrk)/M
Моменты инерции. Осевой, полярный и центробежный моменты инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера о моментах инерции относительно параллельных осей.
Моментом инерции твердого тела относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до оси.
Моментом инерции твёрдого тела относительно плоскости называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояний от этой точки до плоскости.
Моментом инерции твёрдого тела относительно полюса (полярным моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от точки до этого полюса.
Центроб моментом инерции назыв:
Jxy=Сум xkyk; Jxz=Сум mkxkzk;
Jyz= Сум mkykzk
Момент инерции механической системы относительноданной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс системы, сложенному с произведением массы всей системы на квадрат расстояния между осями.
Joz=Jcz’+Md2
Joz=Сум mk(x2k+y2k); xk=x’k
Joz=Сум mk(x’2k+(y’k+d)2)=Сум mk(x’2k+y’2k) + 2 сум mky’kd+Сум mkd2; Сум (x’2k+y’2k)=Jcz’;
2 сум mky’kd=2d Сум mky’k=0
Y’c=Сум mky’k/m=0; Сум mkd2=d2 Сум mk=Md2
Моменты инерции стержня, кольца, диска.
Стержень. Dm=M/L dy; dJz=y^2dm=M/L y^2dy
Jz=ML^3/3L= ML^2/3 относит оси: Jcz’ = ML^2/12
Тонкое кольцо: J= Сум mkh2kz= Сум mkR^2= MR^2
Для плоской фигуры, распол в плоск xy:
Jx+Jy= Сум mk(y2k+z2k)+сум mk(x2k+z2k)=
Сум mk(x2k+y2k)=Jz
Jz=Jx+Jy; Jx=Jy=Jz/2= MR^2/2
Тонкий однор диск: dm=M/piR^2dS=
M/piR^2*2pipdp; dJz=p^2dm=2M/R^2*p^3dp
Jz=MR^2/2; Jx=Jy=MR^2/4
Цилиндра: 
| Теорема о движении центра масс.
Теорема: Произведение массы механической системы на ускор. ее центра масс = гл. вектору всех действ на сист. внешних сил.
Mkan=Fek+Fik; Сум mkak=Сум Fek+Сум Fik
Сум Fik=0; Mrc=Сум mkrk; Mdrc/dt=Сум mkdrk/dt
MVc=Сум mkVk; Mac=Сум mkak; Mac=Сум Fek
Центр масс сист движ как матер точка масса кот равна массе всей сист и к кот прилож все внешние силы.
Следствие: 1. Если геомерт сумма всех внешних сил равна нулю, то скорость центра масс постоянна.
2. Если сумма проекции внешних сил на некот ось равна нулю, то проекция скорости цент масс на эту ось постоянна.
MdVc/dt=Сум Fek=0; Vc=const;
Mdx’c/dt=Сум Fekx=0; x’c=const
Внутр силы изменить закон движ центра масс не могут.
Количество движения материальной точки и системы. Импульс силы. Теорема об изменении количества движения.
MV- импульс- кол – во движ сист матер точек.
Q=Сум mkVk=MVc
Для точки: mdV/dt=Сум Fk
D(mV)/dt=Сум Fk; mv1=mV0=Сум Sk
Изменение кол – ва движ матер точки за некот пром времени равно геом сумме импуольсов всех прил к точке сил за тот же пром времени.
Q1-Q0=Сум Sek
Измен кол ва движ сатер точек за некот пром времени равно геом сумме импульсов всех внешних сил за тот же пром времени.
Следствие: 1. если геом сумма всех внешних сил равна нулю, то кол – во движения сист есть величина постоянная.
2. если сумма проекций всех внешних сил на некот ось равна нудю, то проекция кол – во движ на эту ось есть величина пост.
Теорема об изменении кинетического момента. Дифференциальное уравнение вращательного движения.
Момент кол ва движ матер точки относит т. О назыв величина6 Lo=rxmV; m0=rxF
Сист матер точек. Кинет мом сист относит т. О назыв сумма мом кол – ва движ всех точек сист относит дан точки.
L0=Сум L0k= Сум rcx(mkVk)
dL0/dt=Сум drc/dtx(mk+Vk)+Сум rcxd(mk+Vk)/dt
drc/dt=Vk1; Vkx(mkVk)=0;
Сум rkx(mkVk)=Сум rkx(Fek+fik)=Сум rkxrek+Сум rkxFik
dL0/dt=Сум mo(Fek)
Произв по времени от кинет мом относит точки равна геом сумме мом всех внешних сил относит этой же точки.
Следствие: 1. если геом сумма мом всех вн сил относит некот точек равна нулю, то кинетич мом сист относит этой точки есть величина пост.
2. если сумма мом вн сил относит некот оси равна нулю, то и кинет мом сист относит этой оси есть величина пост.
Lz=Сум mkVkhkz – кинетич момент тв тела относит оси z
Vk=whkz, тогда Lz=Сум mkh2kzw=Jzw
dLz/dt=Jz*dw/dt=JzE=Сум mz(Fek)
Jz  =Сум mz(Fek) – диф уравн вращ движ.
Работа силы. работа силы тяжести, силы упругости, силы, приложенной к вращающемуся телу.
Элемент работой назыв dA=F*dr
dA=FdrCosa=fxdx+Fydy+Fzdz
Работа силы на кон перемещ равна кривол интегр
A(m0,m1)=Инте(от mo до m1) dA.
1. работа силы тяжести.
Fx=Fy=0; Fz=-mg; dA=-mgdz; A(mo,m1) = инт(z0,z1)mgdz=md(z0-z1); A(m0,m1)=+-mgh
2. Сила упругости: F=-cx; A(m0,m1) =-инт(x0,x1)cxdx=
c/2(x20=x21); A(m0,m1)=c/2(L20-L21), L- деф пруж
3. Работа силы, прил к вращ телу.
dA=FtdS=Fthzdfi; Fthz=Mz; dA=Mzdfi
A(m0,m1)=инт(fi0,fi1)Mzdfi
Кинетическая энергия точки и системы. Теорема Кенига. Энергия тела при различных видах движения.
Кинет энергии матер точки назыв величина: mV^2/2. Кинет энергия сист равна сумме кинет энергий всех точек сист: T= Сум mkV2k/2
Т. Кенига.
Кинетич энергия сист точек равна сумме кинет энергии пост движ сист со скорость центра масс и кинетич энергии точек сист в отночит движ вокруг центра масс.
T=MV2c/2+Сум mkV2kr/2
Vk=Vc+Vkr – при сложном движ
T=Сум mkV^2kVk/2= Сум mk(Vc+Vkr)d(Vc+Vkr)/2=
Сум mkV^2c/2+Сум mkVcVkr+Сум mkV^2kr/2;
Сум mkV^2c/2=V^2c/2*Сум mk=MV^2c/2
Сум mkVcVkr=VcСум mkVkr
Сум mkVkr=mVcr=0
T=MV^2k/2+Сум mkV^2kr/2
1. Поступ движ: Vk=V, тогда:
T=mkV^2/2=MV^2/2; T=Сум mkh^2kzw62/2= Jzw^2/2
|