Вопросы к экзамену по теории функций комплексного переменного
Комплексные числа и функции
Мнимая единица. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. Сопряженные числа. Действия над комплексными числами. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. Основная теорема алгебры. Решение простейших алгебраических уравнений повышенной степени. Понятие функции комплексного переменного. Однолистные функции. Основные элементарные функции
Дифференцирование комплексных функций
Понятие производной комплексной функции в точке. Аналитические функции. Условия Коши-Римана. Гармонические функции. Оператор Лапласа. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части
Интегрирование комплексных функций
Понятие первообразной комплексной функции в области. Интеграла от комплексной функции по кривой. Формула Ньютона-Лейбница. Интегральная теорема Коши. Интеграл Коши. Интегральное представление производных
Разложение комплексной функции в ряд
Изолированные особые точки. Разложение комплексной функции в ряд Тейлора. Разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена. Разложение комплексной функции в ряд Лорана. Главная и правильная часть ряда Лорана. Классификация изолированных особых точек
Вычеты и их приложения
Понятие вычета комплексной функции в особой точке. Нахождение вычетов в полюсах. Вычет в бесконечно удаленной точке. Основная теорема о вычетах. Вычисление несобственных интегралов
Преобразование Лапласа
Оригинал. Показатель роста. Изображение. Свойства преобразования Лапласа. Дифференцирование и интегрирование оригинала. Дифференцирование и интегрирование изображения. Теоремы запаздывания и смещения. Свертка функций. Теорема Бореля. Формула Дюамеля.
Операционный метод
Операционный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Операционный метод решения уравнений математической физики.
Контрольное задание в 4 семестре
Вариант 1
Задача 1. Найти значение функции 
в точке 
. В каких точках эта функция является аналитической?
Задача 2. Может ли функция 
являться мнимой частью некоторой аналитической функции 
? Восстановить функцию по ее мнимой части
Задача 3. Вычислить интеграл 
, где 
- дуга параболы от точки 
до точки 
Задача 4. Найти разложение функции 
в ряд Лорана в точке 
. Указать главную и правильную части ряда, а также область сходимости
Задача 5. Отыскать все особые точки функции 
и определить их характеристики. Найти вычеты во всех этих точках
Задача 6. Вычислить несобственный интеграл 
Задача 7. Найти изображение оригинала: 
Задача 8. Найти изображение периодической функции с периодом Т=2:
Задача 9. Найти свертку и ее изображение для функций: 
Задача 10. Найти оригинал изображения:
Задача 11. Решить дифференциальное уравнение:
Задача 12. Решить дифференциальное уравнение:
Задача 13. Решить систему дифференциальных уравнений:
Задача 14. Решить интегральное уравнение:
