Профиль: Матеша
1. 
В паблике «МЕМФИ» возник дефицит мемов. Поэтому админы решили на протяжении x дней постить «фрактального программиста». Известно, что первый пост собрал 15 лайков, а каждый следующий набирал на 5 лайков больше предыдущего. Найдите x, если известно, что суммарно все посты набрали 750 лайков.
2. На диаграмме на каждый месяц 2020 года показан уровень рейтинга лицея в информационном пространстве. По нему определите средний показатель рейтинга за все представленное время.
3. 
На представленной эмблеме квадратной формы найдите площадь красной фигуры
4. В 11 «И» классе учится 31 человек. На уроке математики АВИ решил либо поставить два плюсика одному человеку, либо по плюсику каким-то двум. Найдите вероятность того, что среди учеников, получивших плюсик, был Березин. Ответ округлите до 3 значащих цифр после запятой.
5. Найдите больший корень уравнения 
6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность.
Известно, что AB = BC = 5, CD + AD = 8, a угол между диагоналями AC и BD равен 30 
. Найдите площадь ABCD.
7. На представленном рисунке прямые касаются графика функции y(x) в точках A, B и C. Известно, что значение производной y (x) в точке A равно 8, а в точке C производная в 4 раза меньше, чем в точке A. Найдите значение производной в точке B.
8. Ученик нарисовал в ROOT куб со стороной 8. Но Киселёв попросил его вырезать внутри рисунка пустую полость в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 4 и 5. Найдите полную площадь поверхности полученной фигуры.
9. Найдите 
, если известно, что 
и 
10. Количество подписчиков МЕМФИ через t месяцев определяется по формуле:
, где M 
количество подписчиков на текущий момент времени, 
это целая часть от числа 
.
На сколько увеличится количество подписчиков с 3 по 6 месяцы?
11. АВИ, Кленин и Партанский хотят полностью исследовать одну сложную функцию комплексного переменного. Известно, что АВИ и Кленин исследуют его за 3 часа, АВИ и Партанский - за 2 часа, а Партанский и Кленин - за 6 часов. За сколько часов они смогут решить данную задачу, работая вместе? Скорость решения для каждого все время одинаковая.
12. Найдите наибольшее значение функции 
на интервале 
13. Решите уравнение:
a) 
b) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку 
14. В кубе 
на сторонах 
, 
, 
, 
отметили точки K, L, M, N соответственно так, что 
. Сторона куба равна 30.
a) Докажите, что прямые KM и LN пересекаются в одной точке
b) Докажите, что KLMN 
параллелограмм
c) Найдите площадь KLMN
15. Решите неравенство: 
16. В трапеции 
проведены диагонали, которые пересекаются в точке Е. Через точку Е проведена прямая, которая параллельна основаниям и пересекает боковые стороны трапеции AB и CD в точках M и N соответственно. Из точки E опустили перпендикуляр EK на основание AD.
a) Докажите, что MK = NK
b) Прямые AB и CD продлили так, что они пересеклись в точке P. Оказалось, что 
биссектриса 
. Найдите PK если 
17. В одной IT компании на собеседовании Максиму Кленину предложили сотрудничество на 5 лет с годовым окладом в 6 миллионов рублей. Однако после ему предложили 2 варианта повышения зарплаты: Либо каждую треть года его оклад повышается на 10000 рублей (не включая первую треть года с начала момента работы), либо каждый год повышение оклада на 31000 рублей (не включая первый год работы). Недолго думая, Кленин выбрал более выгодный вариант повышения зарплаты и на следующий день приступил к работе. Объясните какой из вариантов оказался выгоднее и на сколько больше рублей заработает Максим за 5 лет сотрудничества по сравнению с менее выгодным вариантом.
(Выгодный вариант считается тот, где Максим суммарно получит больше денег)
18. При каких значениях параметра система имеет ровно 4 решения?
19. Последовательность чисел задается следующим образом:
, где операция sum(x) это сумма цифр числа x, а операция a % b это остаток от a при делении на b. Известно, что 
.
a) Найдите последнюю цифру числа 
b) Сколько членов последовательности делятся на 11?
c) Сколько членов последовательности делятся на 12?
ЕГЭ, специально для МЕМФИстов от Назарьева Ильи (под редактурой Партанского Ильи)