Переменные в математических моделях

Этапы моделирования

Единство моделирования как научной дисциплины подчерки­вается наличием одних и тех же этапов моделирования, распо­лагающихся в одной и той же последовательности, в различных прикладных областях. Число этих этапов зависит от степени де­тализации их описания (при дальнейшем изложении мы выде­лим восемь этапов).

Любая процедура моделирования, независимо от предметной области, начинается с изучения объекта, его описания и форми­рования списка требований к модели. Как уже отмечалось, мо­дель определяется совместным заданием объекта и задачи, реша­емой субъектом. Это означает, что прежде чем приступать к мо­делированию, необходимо ответить на вопросы о том, что моде­лируется, с какой целью, кем, с помощью каких математических и технических средств и т. д. Здесь можно провести параллель с риторической схемой вопросов, применявшихся в римском правосудии при расследовании обстоятельств дела: Quis? Quid?, Ubi? Quibus auxillius? Cur? Quomodo? Quando? (Что? Кто? Где? С чьей помощью? Для чего? Каким образом? Когда?).

Одновременно возникают проблемы построения адекватной математической модели объекта, выбора его информативных характеристик и параметров, интерпретации результатов моде­лирования, оценки точности и достоверности получаемой инфор­мации.

В схематичной форме содержание процесса моделирования поясняет рис. 1.5.

Этапы организации и проведения процедуры моделирования показаны на рис. 1.6.

На первом этапе дается общая характеристика исследуемо­го объекта, описываются основные режимы его работы и особен­ности функционирования.

Рис. 1.5. Процесс моделирования

Объект может быть задан либо набором его реакций на типо­вые входные воздействия, либо описанием его структуры с ука­занием численных значений ее параметров.

Для определения реальных значений параметров объекта моделирования можно воспользоваться результатами одного из разделов современной теории управления – теории идентифика­ции. Основная задача идентификации состоит в получении или уточнении математического описания объекта по измерениям его входных и выходных сигналов. В самой общей постановке – это задача получения математического описания «черного ящи­ка», когда априорная информация об объекте полностью отсут­ствует. В более типичной для практики постановке цели объект представляет собой «серый ящик», когда, например, требуется определить коэффициенты дифференциального уравнения, тип и порядок которого известны (некоторые из возможных целей были перечислены на рис. 1.2).

Рис. 1.6. Этапы моделирования

На втором этапе формулируются цели моделирования. Они могут состоять в оценке возможностей функционирования объ­екта в отдельных режимах, получении качественной или коли­чественной информации о его характеристиках. В ряде случаев ставится задача прогнозирования поведения исследуемого объ­екта, как это характерно, например, для метеорологических мо­делей, моделей «ядерной зимы» и моделей мировой динамики.

На третьем этапе производится выбор критериев адекватно­сти, которые используются далее при синтезе модели. Под ними понимаются характеристики объекта, достаточно полно опреде­ляющие его поведение и состояние. К ним относятся, во-первых, параметры объекта, определяемые целью исследований, и, во-вторых, переменные, подлежащие прямому экспериментально­му измерению.

Выбор критериев адекватности представляет собой ответ­ственный этап, от которого во многом зависит качество, точность и эффективность всего процесса моделирования. Эти критерии должны удовлетворять трем требованиям: измеримости, инфор­мативности, инвариантности.

Измеримость критерия означает, что должна иметься воз­можность его вычисления по результатам непосредственных из­мерений, проводимых на реальном объекте с помощью соответ­ствующих датчиков (скорости, температуры, давления и т. п.).

Информативность критерия означает, что он должен нести существенную информацию о характеристиках объекта и допу­скать возможность их количественного определения.

Инвариантность критерия означает, что он должен иметь малую (в идеале – нулевую) чувствительность к шумам и другим мешающим воздействиям.

Рис. 1.7. Взаимосвязь критериев

К сожалению, одновременное выполнение перечисленных требований на практике не всегда возможно. Это иллюстри­руется с помощью диаграммы (рис. 1.7), на которой выделены множества измеряемых, информативных и инвариантных пара­метров объекта. Если пересечение этих трех множеств не пусто, то их общая часть содержит те параметры, которые и нужно ис­пользовать при анализе адекватности. В противном случае при­ходится удовлетворять в первую очередь требованию измеримо­сти, а в отношении двух других требований идти на разумный компромисс.

На четвертом этапе, с учетом выбранных критериев адек­ватности, осуществляется построение модели объекта, отражаю­щей цель исследований. Если речь идет о математической моде­ли, то она может быть выбрана линейной или нелинейной, ста­ционарной или нестационарной, непрерывной или дискретной, может быть описана с помощью передаточных функций, частот­ных характеристик, уравнений в пространстве состояний, обык­новенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и т. д. (см. рис. 1.4).

При этом реальные погрешности и неучтенные факторы обыч­но отображаются в модели опосредованно в виде дополнительных входных сигналов или в виде изменения некоторых параметров, например коэффициентов уравнений.

Построенная модель должна быть непротиворечивой и под­чиняться всем обычным законам математической логики. Жела­тельно также, чтобы она отвечала двум критериям Эйнштейна – критерию внешнего оправдания и критерию внутреннего совер­шенства. Первый из них всегда можно удовлетворить, добиваясь желаемого поведения модели за счет введения дополнительных корректирующих блоков или поправочных членов в уравнени­ях. Второй критерий не поддается формализации и предполагает гармоничность модели, ее внутреннюю уравновешенность, эсте­тическое совершенство.

Обычно модель создается на основе экспериментальных дан­ных и затем, по мере ее проверки и накопления новых данных, уточняется и совершенствуется. Этот процесс можно пояснить схемой, приведенной на рис. 1.8.

В принципе, в силу бесконечности процесса познания, схему можно продолжать неограниченно, что прослеживается на при­мере развития любой науки. Однако при моделировании на вычислительных машинах необходимо остановиться на какой-то конкретной модели. Здесь следует иметь в виду, что чрезмер­ное усложнение модели так же нежелательно, как и ее излиш­нее упрощение. По выражению английского ученого Р. Хинде, «слишком хорошая модель бесплодна, слишком отдаленная вво­дит в заблуждение».

Например, при исследовании колебаний физического маятни­ка можно использовать простейшее линейное дифференциальное уравнение ,нелинейное дифференциальное уравнение либо уравнения более высоких порядков, учиты­вающие, например, малые колебания точки подвеса маятника или тепловые движения молекул в нем. Очевидно, последнее вы­зовет излишнее усложнение модели, что приведет к значитель­ному увеличению числа используемых вычислительных блоков и в конечном счете к увеличению погрешности результатов.

Здесь имеет место своеобразный парадокс – более полная мо­дель приводит к большей погрешности. С другой стороны, линей­ная модель справедлива лишь для малых колебаний маятника, а для случая колебаний с большой амплитудой дает значительную погрешность. Поэтому, если речь идет об исследовании колеба­ний в широком диапазоне амплитуд, наиболее подходящей мож­но считать нелинейную модель.

В тех случаях, когда с помощью одной модели умеренной сложности не удается отразить поведение объекта с требуемой полнотой, используют многомодельный подход. Его суть состоит в том, что для моделируемого объекта создается банк моделей, каждая из которых отражает те или иные аспекты его функцио­нирования. Например, при моделировании многорежимных объ­ектов (космических летательных аппаратов, ядерных реакторов и т. п.) банк может включать модели, отвечающие отдельным ре­жимам работы объекта, таким как взлет или посадка летатель­ного аппарата, разгон ядерного реактора и т. д.

Рис. 1.8. Процесс создания модели

Пятый этап связан с выбором метода моделирования и его аппаратурной или программной реализацией. В частности, при компьютерном моделировании различают численные, струк­турные и символьные методы. Для их реализации существует обширный класс пакетов компьютерного моделирования, таких как MATLAB, SIMULINK, VISSIM, MATHEMATICA, MAPLE, LABVIEW и др.

Шестой этап занимает, в некотором смысле, центральное место в процедуре моделирования. На этом этапе исследователь имеет работоспособную модель и проводит с ее помощью различ­ные эксперименты. В частности, в научных исследованиях боль­шую роль играют гипотезы, т. е. определенные предсказания, основывающиеся на небольшом количестве опытных данных, наблюдений, догадок. Быстрая и полная проверка выдвигаемых гипотез может быть проведена в ходе специально поставленных экспериментов с математической или имитационной моделью.

Следующие два этапа (седьмой и восьмой) относятся к непосредственному проведению моделирования и математи­ческой (в том числе статистической) обработке его результатов. Цель обработки состоит в отбраковке недостоверных данных, фильтрации помех и оценке погрешности. Одновременно оцени­вается достоверность полученного результата и проводится ана­лиз адекватности модели.

Далее по результатам моделирования может приниматься ре­шение о модификации модели системы либо ее коренном изме­нении, что отражено контурами обратной связи (рис. 1.5, 1.6). Важная роль при обработке результатов моделирования, их ин­терпретации и определении границ применимости принадлежит теории подобия и теории инвариантов, которые могут использо­ваться и на других этапах моделирования.