Лекция 10. УДАРНЫЕ ВОЛНЫВ ГАЗАХ
Волны уплотнения и разрежения
Сжимаемость жидкости обуславливает важное явление - образование в ней волн уплотнения и разрежения.
Как было установлено ранее, в несжимаемой жидкости возмущения, вызванные повышением или понижением давления, распространяются мгновенно. И, следовательно, в движение вовлекаются все частицы жидкости той или иной области (пространства), где возникает возмущение.
Повышение давления в какой-либо точке (области) сжимаемой жидкости вызывает в первый момент уплотнение частиц, близлежащих к источнику возмущения; в следующий момент уплотненные частицы расширяются, вызывая уплотнения других, соседних, частиц и т.д. Таким образом, повышение давления в некоторой точке (области) сжимаемой жидкости вызывает образование в ней волны уплотнения, распространяющейся с некоторой скоростью. Переднюю границу волны уплотнения называют фронтом волны.
Характер уплотнения, в зависимости от интенсивности возмущения может быть плавным или скачкообразным. Однако как бы велико ни было возмущение, вызывавшее волну уплотнения, уплотнение сжимаемой среды происходит не мгновенно, а возрастает в течение некоторого времени. Поэтому в первый момент волна уплотнения характеризуется постепенным нарастанием плотности от фронта к тылу. Причем вследствие разной степени уплотнения частиц скорости распространения отдельных точек волны будут разными. Это приводит к тому, что более сильные уплотнения, распространяющиеся с более высокими скоростями, будут догонять передние точки волны. Поэтому через некоторое время после возникновения уплотнения наибольшее уплотнение оказывается у фронта волны. Происходит скачкообразное изменение плотности (а также давления, скорости и температуры) на фронте волны и волна уплотнения превращается в ударную волну, на фронте которой имеет место значительное выделение тепла, и таким образом происходит рост энтропии. Это согласуется со вторым законом термодинамики, согласно которому энтропия замкнутой системы может только возрастать.
Аналогично волне уплотнения возникает в сжимаемой жидкости и волна разрежения. Так, понижение давления в некоторой точке жидкости вызывает расширение частиц, близлежащих к источнику возмещения,и уменьшение их давления на следующие частицы, которые вследствие этого тоже расширяются и т.д. Однако в отличие от волны уплотнения во фронте волны разрежения не бывает скачкообразного изменения плотности - скачков разрежения. Образование скачков разрежения вело бы к уменьшению энтропии, а это противоречило бы второму закону термодинамики.
Ударные волны, как одно из важных проявлений сжимаемости газа
Математически уравнения идеальной гидромеханики допускают разрывные решения, т.е. решения, которые имеют скачки параметров газа (плотности, давления, скорости и температуры). Одним из таких проявлений в природе является образование ударной волны около летящего со сверхзвуковой скоростью тела в плотных слоях атмосферы Земли. Например, образование ударной волны около летающих сверхзвуковых самолетов или ударных волн около метеоритов, вторгающихся в плотные слои атмосферы Земли с большими сверхзвуковыми скоростями.
Известно, что около пассажирских самолетов, летающих главным образом с дозвуковыми скоростями, никакие ударные волны не образуются.
Пусть есть сферическое тело радиуса R (рис. 4.7), которое летит в воздухе со сверхзвуковой скоростью. Тогда впереди такого тела образуется ударная волна В, являющаяся границей между областями 1 и 2, которые отличаются значениями параметров газа. В системе координат, связанной с летящим телом, поток газа набегает на покоящееся тело. Пусть ось Оx направлена вдоль скорости потока, а V 1, p 1, r1 и T 1 – скорость, давление, плотность и температура, соответственно, в невозмущенном телом потоке газа (до ударной волны). В область 1 возмущения от тела не попадают, поскольку тело движется со сверхзвуковой скоростью. Так как скорость газа в лобовой точке тела А обращается в нуль, то от точки А до точки С на ударной волне есть область дозвуковой скорости газа, которой достигают возмущения воздуха от летящего тела.
Физический смысл образования ударной волны и заключается в разделении невозмущенного и возмущенного потоков газа. Если через V 2, p 2, r2 и T 2 обозначить скорость, давление, плотность и температуру газа соответственно сразу же после ударной волны В, то справедливы неравенства
V 2 < V 1, p 2 > p 1, r2 > r1, T 2 > T 1.
Это означает, что скорость за ударной волной уменьшается, а давление, плотность и температура возрастают. Сильным возрастанием температуры за ударной волной и объясняется оплавление возвращающихся на Землю космических аппаратов и метеоритов, вторгающихся в атмосферу с большими сверхзвуковыми скоростями.
Такие ударные волны называются ударными волнами сжатия (плотность газа возрастает). Интересно, что в природе никогда не наблюдались ударные волны разрежения, в которых плотность падает. Математически образование ударных волн разрежения запрещается известной в гидроаэромеханике теоремой Цемплена.
Соотношения между параметрами с индексами «1» и «2» можно получить из интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии, поскольку они справедливы и для разрывных функций.
Рис. 4.7.
B – головная ударная волна, А – критическая точка на теле, в которой скорость обращается в нуль, С – точка на ударной волне и на оси симметрии Ox, 1 и 2 – области течения перед и за ударной
Такие соотношения называются соотношениями Гюгонио и имеют вид (в системе координат, связанной с ударной волной)
r1 Vn1 = r2 Vn2;
r1 Vn1V1 + p1 n = r2 Vn2V2 + p2 n;
[r1 V12/2 + p1 g/(g – 1)]Vn1 = [r2 V22/2 + p2g/(g – 1)]Vn2. (4.10)
Вместе с уравнением состояния эти соотношения позволяют определить значения параметров газа за ударной волной (индекс «2») по значениям параметров невозмущенного ударной волной потока газа (индекс «1»).
Зависимость между плотностью газа и давлением после и до скачка уплотнения выражается уравнением
. (4.11)
Эта зависимость называется ударной адиабатой, или адиабатой Гюгонио.