Математический анализ
1. Найти предел 
.
2. Найти предел 
.
3. Исследовать функцию на непрерывность 
.
Знаменатель функции обращается в ноль при х=3. Исследуем ф-ю на непрерывность в этой точке:
В точке х=3 функция терпит неустранимый разрыв второго рода
4. Найти производную функции 
.
5. Найти частные производные второго порядка по всем переменным функции
.
6. Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости её графика 
.
Найдем точки подозрительные на экстремум:
y(х) возрастает при х 
(-∞;1/3) 
(3;∞), убывает при х (1/3; 3)
Найдем точки перегиба:
y(x) вогнута при х (5/3; 
), выпукла при х (-∞; 5/3)
х=5/3 точка перегиба
7. Найти интеграл 
.
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Ответ: 
9. Вычислить интеграл 
, где D - область, ограниченная прямыми 
, 
, 
.
Ответ: 
10. Вычислить криволинейный интеграл 
, где L - дуга параболы 
от точки (0;0) до точки (1;1).
11. Исследовать ряд на сходимость 
.
следовательно ряд 
сходится
Ответ: 
сходится
12. Найти область сходимости ряда 
.
Воспользуемся признаком сходимости Даламбера:
Требуем, чтобы 
, следовательно 
Исследуем сходимость на границах интервала:
Ответ: 
13. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость 
.
Проверим выполнение признака Лейбница:
Следовательно ряд сходится условно, исследуем абсолютную сходимость:
ряд расходится как обобщенный гармонический с k=1/2 <1
следовательно абсолютная сходимость не выполняется
Ответ: 
сходится условно
Комплексный анализ
14. Вычислить 
, явно выделив действительную и мнимую части.
15. Разложить в ряд Лорана функцию 
Точка z=0 является особой точкой функции, других особых точек функция не имеет. Ряд Лорана для данной функции будет только один и сходиться он будет в области |z|>0.
В известном разложении 
заменяем z на –1/z2 и получаем
Дискретная математика
21. Найти СКНФ булевой функции 
Составим таблицу истинности функции:
| x | y | z | 
| 
| 
|
Для построения СКНФ по таблице истинности выбираются наборы, приводящие функцию в значение ноль. Переменная записывается с инверсией, если равна 1 в этом наборе.
СКНФ: 
22. Докажите, что функция 
не является линейной?
Функция f(x1,…,xn) называется линейной, если существует a0,a1,…,an B такие, что
f(x1,…,xn)=a0+a1×x1+…+an×xn.
Тогда 
| x | y | 
|
| 
| следствие |
| 0 0 1 1 | 0 1 0 1 | 0 0 0 1 | 1 1 1 0 | 
| 
противоречие
|
Получили противоречие, значит функция нелинейна
23. Дана матрица смежности 6-вершинного графа.
Является ли он планарным?
Изобразим граф
По формуле Эйлера для плоского графа справедливо: |V(G)| – |E(G)| + |F(G)| = 2
Отсюда F(G)=2+11-6=7
Без петель F(G)=5, E(G)=9
Любая грань (включая внешнюю) содержит четное число ребер – а значит, не менее 4. Поскольку каждое ребро включается в ровно две грани, получается 
.
Соотношение не выполняется, значит его нельзя расположить на плоскости, т.е. граф не является планарным
Дифференциальные уравнения
24. Найти общее решение ОДУ: 
25. Найти общее решение ОДУ: 
26. Найти общее решение ОДУ: 
27. Найти общее решение ОДУ: 
28. Найти решение задачи Коши: 
Решим общее однородное ДУ:
Найдем частное решение ДУ:
Общее решение ДУ:
Найдем решение задачи Коши:
29. Найти общее решение системы ОДУ 
продифференцируем первое уравнение по t: 
значение 
подставим из второго уравнения: 
значение 
подставим из первого уравнения: 
система свелась к уравнению: 
Найдем его общее решение: 
30. Найти общее решение ОДУ: 
31. Найти общее решение ОДУ: 
Решим общее однородное ДУ:
Найдем частное решение ДУ:
Общее решение ДУ:
32 Найти общее решение ОДУ: 
33. Найти общее решение системы ОДУ 
продифференцируем второе уравнение по t: 
значение 
подставим из первого уравнения: 
значение подставим из второго уравнения: 
система свелась к уравнению: 
Найдем его общее решение:
