Возведение в целую степень

Что значит «возведение в степень»?

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Определение.

Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5)⁵ », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение числа в натуральную степень

По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a, то есть, . Таким образом, чтобы возвести число a в степень n нужно вычислить произведение вида .

Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Выполните возведение числа −2 в четвертую степень.

Решение.

По определению степени числа с натуральным показателем имеем (−2)⁴=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Осталось лишь выполнить умножение целых чисел: (−2)·(−2)·(−2)·(−2)=16.

Ответ:

(−2)⁴=16.

Пример.

Найдите значение степени .

Решение.

Данная степень равна произведению вида . Вспомнив, как выполняется умножение смешанных чисел, заканчиваем возведение в степень: .

Ответ:

.

Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим , а если взять , то возведение в степень даст .

Здесь стоит сказать, что во многих задачах нет необходимости возводить в степень иррациональные числа. Обычно ответ записывается либо в виде самой степени, например, , либо по возможности проводится преобразование выражения: .

В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени – это есть само число a, то есть, . Это есть частный случай формулы при n=1.

Например, (−9)¹=−9, а число в первой степени равно .

Возведение в целую степень

Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя, и для целых отрицательных показателей степени.

Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

Переходим к возведению в нулевую степень. В статье степень с целым показателем мы выяснили, что нулевая степень числа a определяется для любого отличного от нуля действительного числа a, при этом a⁰=1.

Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу. Например, 5⁰=1, (−2,56)⁰=1 и , а 0⁰ не определяется.

Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа a с целым отрицательным показателем −z определяется как дробь вида . В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем, значение которой мы умеем находить. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

Пример.

Вычислите значение степени числа 3 с целым отрицательным показателем −2.

Решение.

По определению степени с целым отрицательным показателем имеем . Значение степени в знаменателе легко находится: 2³=2·2·2=8. Таким образом, .

Ответ:

.

Пример.

Найдите значение степени (1,43)⁻².

Решение.

. Значение квадрата в знаменателе равно произведению 1,43·1,43. Найдем его значение, выполнив умножение десятичных дробей столбиком:

Итак, . Запишем полученное число в виде обыкновенной дроби, умножив числитель и знаменатель полученной дроби на 10 000 (при необходимости смотрите преобразование дробей), имеем .

На этом возведение в степень завершено.

Ответ:

.

В заключение этого пункта стоит отдельно остановиться на возведении в степень −1. Минус первая степень числа a равна числу, обратному числу a. Действительно, . Например, 3⁻¹=1/3, и .