Если D - односвязная ограниченная область, w = f (z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f (z) по L равен нулю: 
.
Доказательство. Удивительно, но эта важнейшая теорема непосредственно и просто следует из условий Коши-Римана и формулы Грина. Так как, по доказанному выше, 
, то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим 
вследствие условий Коши-Римана 
. Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.
Следствие. Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция w = f (z), и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл 
имеет одинаковое значение.
Доказательство: Объединение 
кривых - замкнутый контур, поэтому 
.
7. Теорема Коши для многосвязной области. Если функция w = f (z) аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области 
, ограниченной контурами L 0 (внешняя граница), L 1, L 2, …, Lk, то интеграл от f (z), взятый по полной границе области , проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю.
Доказательство Рассмотрим случай, когда граница области (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура L 0 и внутренних контуров L 1 и L 2. Соединим контур L 0разрезом FM с контуром L 1, разрезом BG - с контуром L 2. Область 
с границей 
односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши:
. Интегралы по каждому из разрезов входят в этот общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны.
Буквами без верхнего индекса будем обозначать контуры, проходимые против часовой стрелки, с верхним минусом - по часовой. Мы доказали, что 
. Таким образом, интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам, при этом все контуры обходятся в одном направлении.
8. Интегральная формула Коши. Пусть w = f (z) аналитична в области D и L - замкнутая кусочно-гладкая кривая, содержащаяся в D вместе с областью D 1, которую она ограничивает. Тогда для каждой точки 
имеет место формула
.
Доказательство. Заметим, что в этой формуле функция в точке z 0 портится как раз введением множителя 
. Окружим точку z 0 окружностью 
радиуса 
столь малого, что на f (z) мало отличается от f (z 0): 
, тогда 
. Более строго, возьмём столь малым, что окружность радиуса с центром в f (z) лежит в D 1. Функция w = f (z) аналитична в двусвязной области, заключенной между L и , поэтому (следствие из Теоремы Коши для многосвязной области) 
. Распишем последний интеграл: 
. Второй интеграл здесь равен 
. Первый интеграл а) не зависит от (действительно, подынтегральная функция аналитична в области между и 
, где - окружность радиуса 
, и по тому же следствию из Теоремы Коши для многосвязной области 
; б) 
. Из этих утверждений а) и б) следует, что первый интеграл 
.
Докажем утверждение б). Обозначим 
, при этом, вследствие непрерывности функции, 
. Оценим 
по модулю (учитывая, что 
): 
. Утверждение доказано. Доказана и интегральная формула Коши: 
.
9. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Запишем интегральную формулу Коши в переменных z, t: 
. Продифференцируем эту формулу по z: 
. Продолжим дифференцирование: 
; 
, и вообще 
. Следовательно:
Если функция f (z) имеет в каждой точке области D производную первого порядка (т.е. аналитична в области D), то она имеет в этой области производную любого порядка (т.е. любая производная функции f (z) аналитична в области D).
10. Ряд Тейлора. Пусть функция w = f (z) аналитична в области D, 
. Обозначим L окружность с центром в z 0, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L, . Представим множитель 
в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: 
(так как
| z – z 0| < | t – z 0|, то 
) 
, и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: 
, так как 
. Итак,
.
Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f (z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D.
11. Ряд Лорана. Пусть функция f (z) аналитична в кольце 
. Тогда для любой точки этого кольца 
; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева. Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное: 
. Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора: (так как | z – z 0| < | t – z 0|, то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
, где 
. Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на 
| t – z 0| < | z – z 0|: 
. И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
, где 
. Переобозначим 
, тогда форма коэффициентов ряда для совпадёт с формой коэффициентов ряда для LR: 
поэтому окончательно для интеграла по получим 
. Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть 
- кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце , и точка 
расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области 
; 
, поэтому для любого n 
, и
.
Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени z – z 0), называется рядом Лорана функции f (z). Его часть, содержащая неотрицательные степени (
), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени (
), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге | z – z 0| < R, главная - во внешности круга 
, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце 
. Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно