Решение систем уравнений
При решении систем уравнений нужно задать начальные значения переменных. За ключевым словом Given («дано») записывается анализируемая система, в которой левые и правые части уравнений связаны знаком «эквивалентно» — жирным знаком «равно» панели Evaluation. Для решения системы можно использовать встроенную функцию Find («найти»). Функция Find возвращает и заносит в переменную-ответ значения переменных, превращающие уравнения в тождества.
Термины вектор и матрица (массив) дают еще один способ решения систем уравнений — матричный.
Пример Решить систему уравнений 
Решение
Решим систему в матричном виде: AX=B. Матрица A — это квадратная матрица порядка 2, хранящая коэффициенты при x1, x2 уравнений системы, вектор X=(x1, x2) — вектор неизвестных системы, а вектор B — вектор свободных членов. Тогда
A-1AX=A-1B;
X=A-1B.
Для поиска решения системы найдем обратную матрицу A-1, умножим на вектор B, и в ответе получим вектор X.
Считается, что более ста элементов матрицы неразумно вводить вручную. Объемные матрицы вводятся в Mathcad-документ тремя способами:
1) Элементы матрицы хранятся файлом на диске и вводятся в матрицу функцией READPRN.
2) Две матрицы сливаются в одну функциями stack (матрицы ставятся одна на одну) или augment (матрицы ставятся бок о бок).
3) Без обращения к окну работы с матрицами, а через ввод индекса переменной: Аi Bi и Хi.
Максимальное число уравнений и переменных в системе равно пятидесяти. Как для решения одного уравнения, так и для решения системы уравнений существует два способа решения систем уравнений: численный (по начальному приближению) и символьный (всю работу делает MathCad). Пример Решить систему уравнений:
Решение Приближенно решим данную систему обычным графическим методом:
1) из каждого уравнения системы выражаем переменную у. Получаем эквивалентную систему:
2) строим графики этих функций;
3) по рисунку приблизительно оцениваем координаты точек пересечения графиков (здесь: примерно точки (3,2) и (1,0)).
Полученные приближения очень грубы, поэтому продолжим решение этой системы, при помощи MathCADа уточнив их:
4) зададим начальные приближения (-3,2) для переменных х и у:
х:=-3
у:=2
5) вводим команду Given;
6) вводим уравнения;
7) присваиваем какой-либо переменной значение функции Find(x,y):
a:=Find(x,y)
8) запрашиваем ответ:
В ответ на наше начальное приближение (-3,2) мы получили уточненное решение системы уравнений: (-3.712, 2.356).
Аналогично получаем уточнение и для второго приближения (1,0) — (1.212, -0.106).
При решении систем уравнений можно использовать функцию minerr, которая пытается найти максимальное приближение даже к несуществующему решению. При ее использовании всегда следует проверять полученный результат.
Для систем с тремя и более неизвестными графический способ неприменим.
Символьное решение систем уравнений
Пример Решить систему уравнений:
Решение
1) вводим команду Given;
2) в любом порядке вводим уравнения;
3) вводим Find(x,y);
4) используем комбинацию клавиш [Ctrl+.]
MathCAD выдаст решение введенной системы слева от знака символьного равенства в виде столбца ответов: 
Это значит, что х=-2, у=-4 - решение нашей системы.
Аналогичным образом можно решать системы уравнений с параметрами, имеющих переменные коэффициенты вместо числовых.
Решение уравнений
1. Для решения одиночных алгебраических уравнений лучше использовать не конструкцию Given-Find, а встроенную функцию root («корень»).
Функция root имеет два аргумента: выражение и переменная, найденное значение которой обращает выражение в ноль. Для работы функции root также необходимо первое приближение, вблизи которого ищется корень. Если корней много, то возвращается один — ближайший к первому приближению.
2. Для поиска всех корней полинома n -й степени предназначена встроенная функция polyroots.
Функция polyroots не требует начального приближения, а в качестве аргумента имеет вектор коэффициентов полинома.
Замечание На качество работы функции root влияет значение системной переменной TOL.
Другие способы решения уравнений
Пример 1 Решить уравнение x3 -9x2 +6x+16=0;
Решение
1. вводим уравнение;
2. выделяем переменную, относительно которой нужно решить уравнение;
3. выбираем пункт "Решить относительно переменной" меню "Символика".
Этим же способом можно решать и уравнения с параметрами.
Пример 2 ПРОГРАММА — это частный случай выражения. Как и любое выражение, программа возвращает некоторое значение, если за ней следует знак равенства. Но программа, в свою очередь, может состоять из нескольких выражений, последовательно решающих общую задачу программы.
Пример Решить квадратные уравнения:
а) х2+10х+25=0;
б) х2+8х=1;
в) Зх2-5х=2.
Решение Данные уравнения являются частными случаями общего вида квадратного уравнения, а их решение - частным случаем общего решения квадратных уравнений. Поэтому достаточно написать программу решения квадратного уравнения в общем случае, а затем воспользоваться ею для решения наших трех уравнений. Писать программу будем так:
1) вначале задаем имя программы (например, KVAD) и параметры, передаваемые ей. Исходя из общего вида квадратного уравнения, в программу для решения передаются коэффициенты а, b и с. Для этого следует ввести следующее:
KVAD(a,b,c):=
2) для ввода первой операции используем клавишу ] или кнопку AddLine палитры «Программирование».
Появляется вертикальный столбец, справа от которого расположено два поля ввода для операторов:
3) вводим первое выражение программы. Для решения квадратного уравнения в первую очередь нужно найти дискриминант:
Значок "" применяется вместо обычного ":=" для присвоения переменной d значения, стоящего справа от выражения.
4) перейдя клавишей TAB во второе поле, введем в ней выражения для первого корня уравнения
5) добавляем еще строку и вводим выражение для второго корня уравнения:
6) в последней строке нужно записать выдаваемый ответ. Программа может вывести только один ответ, a у нас два корня. Для того, чтобы вывести их, можно воспользоваться столбцом корней. Получаем следующее:
Для нахождения решения уравнений из условия теперь можно использовать только что написанную программу:
Таким образом, можно написать программы для решения и других типов уравнений, создав собственную библиотечку.
Решение неравенств
Для решения неравенств существует два различных способа.
1. Метод интервалов.
Пример Решить неравенство: x3 - 22x < 24 - Зх2.
Решение
1) приводим неравенство к такому виду, чтобы справа стоял ноль:
х3+3х2-22х-24<0;
2) с помощью одного из изученных методов решаем уравнение
х3+3х2-22х-24=0 (получаем корни -6, -1, 4);
3) задаем функцию
y(x):=х3+3×х2-22×х-24;
4) на каждом из интервалов (-¥,-6), (-6,-1), (-1,4), (4,+¥) определяем знак функции:
у(- 7) = - 66; у(- 2) = 24; у(0) = - 24; у(5) = 66.
Ответ: решение неравенства (-¥,-6) È (-l,4).
2. Следующий метод - уникальный метод пакета МathCad.
Пример Решить неравенство 20-5х2-4х > -х3
Решение
1) вводим неравенство: 20-5×х2-4×х > (-х3);
2) выделяем переменную, относительно которой будет решаться неравенство;
3) выбрать пункт "Решить относительно переменной" меню "Символика".
Получаем ответ: 
Первое выражение означает, что х<2 и -2<х, т.е. -2<х<2 Второе означает, что х>5. т.е. решением неравенства будет следующее:
хÎ(-2;2)È(5,+¥)
Замечание Знак "×" означает пересечение интервалов,
знак "+" означает объединение.