П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Дано: ∆АВС. Доказать, что АВ < АС + СВ. Доказательство: Строим отрезок СМ = ВС на продолжении стороны АС. В равнобедренном ΔВСМ ∠1 = ∠2 (по свойству углов в равнобедренном треугольнике). ∠1 < ∠АВМ, значит и ∠2 < ∠АВМ.
3. Отрезки АВ и СМ пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и ВМ параллельны.
| ||
Билет. 10
1. (п. 27-28) Аксиома – это такая истина, которую не надо доказывать. В каждой науке есть свои аксиомы, на основе которых строят все дальнейшие суждения и доказательства.
Аксиома параллельных прямых:Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.
1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Доказательство: Пусть прямая a || b и прямая с пересекает прямую а в точке М. Докажем, что тогда прямая с пересекает и прямую b. Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы 2 прямые (а и с) параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, значит прямая с пересекает прямую b.
 2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
2. (п. 34) Свойства прямоугольных треугольников:
10. Сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 900.
Доказательство: В самом деле, сумма углов треугольника равна 1800, а т.к. прямой угол = 900, то сумма двух других углов в треугольнике = 900.
20. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.
Доказательство: Пусть в прямоугольном ∆АСВ ∠В = 30°. Тогда другой его острый угол будет равен 60°. Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ.
Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ. Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60°, следовательно, этот треугольник – равносторонний. Катет АС равен половине AM, а так как AM равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ. Ч.т.д.
 30. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300.
 3.Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.
Доказательство:
|
Билет. 11
1. (п. 31) Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол прямой, т.е. равен 900. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами. Гипотенуза всегда большего любого из катетов, т.к. лежит напротив большего угла в треугольнике.
2. (п.29) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
 Дано: а || b, с – секущая,
Доказать, что соответственные углы ∠1 = ∠2.
Доказательство: т.к. а || b, то ∠1 = ∠3 (накрест лежащие), а ∠3 = ∠2 (вертикальные), следовательно ∠1 = ∠2.Ч.т.д.
 3.Найти смежные углы, если один из них на 450 больше другого.
Решение:Обозначим ∠2 = х, тогда ∠1 = х + 450.
По свойству смежных углов ∠1 + ∠2 = 180.
Составим уравнение х + х + 450 = 1800; 2 х = 1350; х = 1350: 2 = 67,50. Значит ∠2 = 67,50, тогда ∠1 = 67,50 + 450 = 112,50.
 Ответ: ∠1 = 112,50; ∠2 = 67,50.
| |||||||||||
 Билет. 12
1. (п. 11) Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.
Свойство: Сумма смежных углов равна 1800.
На рисунке ∠1 и ∠2 вместе образуют развернутый угол, а он равен 1800, следовательно, ∠1 + ∠2 = 1800.
 2. (п.35) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Дано: ∆АВС и ∆А1В1С1 – прямоугольные, АВ = А1В1 и СВ = С1В1, углы С и С1 – прямые.
Доказать, что ∆АВС = ∆А1В1С1
Доказательство: т.к. ∠С = ∠С1 = 900, то ∆АВС можно наложить на ∆А1В1С1 так, что вершина С совместится с С1, а стороны СА и СВ наложатся на лучи С1А1 и С1В1. По условию СВ = С1В1, значит, вершина В совместится с В1. Но тогда и вершина А совместится с А1.
Ч.т.д.
 3.Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.
Дано: В ∆АВС биссектриса ВД – это высота.
Доказать, что ∆АВС равнобедренный.
Доказательство: ∆АВД = ∆СВД по второму признаку
(∠1 =∠2, т.к. ВД – биссек., ∠3 =∠4=900, т.к. ВД – высота, а сторона ВД – общая).
Значит АВ = ВС, т.е. ΔABC – равнобедренный. Ч.т.д.
| |||||||||||
Билет. 13
 1. (п. 11) Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Теорема: Вертикальные углы равны.
Доказательство:∠1 + ∠2 = 1800 (смежные),
∠3 + ∠2 = 1800 (смежные), → ∠1 = ∠3. Ч.т.д.
2. (п.35) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Дано: ∆АВС и ∆А1В1С1 – прямоугольные, АВ = А1В1, ∠С = ∠С1= 900, ∠В = ∠В1.
Доказать, что ∆АВС = ∆А1В1С1
Доказательство: т.к. ∠С = ∠С1 = 900 и ∠В = ∠В1, следовательно, ∠А = ∠А1 (по теореме о сумме углов в треугольнике), а значит ∆АВС равен ∆А1В1С1 по второму признаку равенства треугольников (у них равны гипотенуза и два прилежащих к ней угла). Ч.т.д.
3.Отрезки АВ и СЕ пересекаются в их общей середине О.На отрезках АС и ВЕ отмечены точки К и М так, что АК = ВМ. Доказать, что ОК = ОМ.
 Доказательство: Соединим точки А, С, В, Е. Получили четырёхугольник, диагонали которого делятся точкой пересечения пополам. А, значит, этот четырёхугольник – параллелограмм. ЕС и АВ – диагонали параллелограмма АСВЕ. ∠ОАС = ∠ОВЕ (как накрест лежащие при параллельных прямых АС и ВЕ и секущей АВ). Получили, что ∆АОК = ∆ВОМ по первому признаку равенства треугольников (АО = ОВ, АК = МВ, ∠ОАС = ∠ОВЕ). В равных треугольниках оставшиеся стороны равны, т.е. ОК = ОМ.Ч.т.д.
| |||||||||||
Билет. 14
1.Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному. Смотри презентацию, слайд 2.
 2. (п.18) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Дано: ∆АВС, АВ = ВС, ВО – биссектриса.
Доказать, что ВО – медиана и высота.
3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 600, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4см. Найдите гипотенузу треугольника. Решение: Пусть в данном треугольнике ∠В = 900, ∠A = 600. Тогда ∠С = 1800 – 900 – 600 = 300. Меньший из катетов лежит напротив угла в 300 и, значит, равен половине гипотенузы (по 2 свойству). Обозначим гипотенузу АС = х, тогда катет АВ = ½* х. Составляем уравнение:
Ответ: гипотенуза АС = 17,6см.
| |||||||||||
Билет. 15
1. (п.29) Во всякой теореме есть 2 части: условие и заключение. Условие теоремы – это то, что дано, а заключение – то, что требуется доказать.
Например, рассмотрим теорему: Если 3 стороны первого треугольника соответственно равны 3 сторонам второго треугольника, то такие треугольники равны. В ней условием будет утверждение: 3 стороны первого треугольника соответственно равны 3 сторонам второго треугольника (это дано), а заключение: треугольники равны (это требуется доказать).
Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условие и заключение меняются местами.
Например, для данной выше теоремы обратной теоремой будет: Если треугольники равны, то у них все стороны соответственно равны.
Или для теоремы: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Обратная теорема будет звучать так: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
2. (п.28) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство: Действительно, пусть а || с и b || с.
Докажем, что тогда а || b.
Допустим, что прямые а и b не параллельны, т.е. пересекаются в какой-то точке М. Тогда получим, что через точку М проходят 2 прямые (а и b) параллельные прямой с, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Поэтому наше предположение было неверным, а значит, прямые а и b параллельны.
 3.Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 500. Найти эти углы.
Решение:
| |||||||||||
Билет. 16
1.Как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. Смотри презентацию, слайд 9.
2. (п.30) Внешним углом треугольниканазывается угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Свойство: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Дано: ∆АВС, ∠4 – внешний.
Доказать, что ∠4 = ∠1 + ∠3.
Дано: О – середина АВ, l – прямая, проходящая через О. Доказать, что АА1 = ВВ1. Доказательство: АА1 Следовательно, АА1 = ВВ1. Ч.т.д.
| |||||||||||
Билет. 17
1. (п.24, 37)Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Обозначение: а ǀǀ b.
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой.
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.
2. (п.32) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Дано: ∆АВС, ∠С > ∠В.
Доказать, что АВ > АС.
Доказательство: Предположим, что это не так.
Тогда либо АВ = АС, либо АВ < АС. В первом случае получаем, что ∆АВС – равнобедренный, а значит углы при основании равны, т.е. ∠С=∠В, а это противоречит условию, что ∠С > ∠В. Во втором случае получаем, что ∠С < ∠В (т.к. против большей стороны лежит больший угол). Это тоже противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, и, следовательно, АВ > АС. Ч.т.д.
 3.В ∆АВС ∠А = 400, а ∠ВСЕ смежный с ∠АСВ равен 800. Доказать, что биссектриса ∠ВСЕ параллельна прямой АВ.
Дано: ∠А = 400, а ∠ВСЕ = 800, СК – биссектриса ∠ВСЕ.
Доказать, СК ǀǀ АВ.
Доказательство: ∠ВСК = ∠КСЕ = ½ ∠ВСЕ = 800/2 = 400.
Получили, что ∠ВАС = ∠КСЕ = 400, а это соответственные углы при прямых АВ, СК и секущей АС. Раз они равны, то СК ǀǀ АВ. Ч.т.д.
| |||||||||||
Билет. 18
1. (п.35) Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Поиск по сайту©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2017-04-03 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных |
Поиск по сайту: Читайте также: Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд |
Рассмотрим треугольник АВМ. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тоАВ < АМ, АВ < АС + СМ, АВ < АС + ВС. 
Доказательство:
(по условию). Отсюда 
или х = 17,6.
3. Через середину отрезка проведена прямая. Доказать, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.
l и ВВ1 
