Задачи по «Теории вероятностей»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СМОЛЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

Прикладная математика

Методические указания и контрольные задания

для студентов заочной формы обучения

(II семестр)

Составитель:

доцент кафедры ИТиВМ

Изотова О. А.

Смоленск - 2015

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания предназначены для студентов-заочников и охватывают материал раздела курса высшей математики «Теория вероятностей и математическая статистика».

Методические указания содержат образцы решения некоторых задач и контрольные задания.

ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задачи по «Теории вероятностей»

1. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число большее 4.

Решение. Пусть А – событие: выпадет цифра большая 4. Пусть Е_i – события: выпадет цифра под номером i. Тогда E ₁, E ₂, E ₃, E ₄, E ₅, E ₆ образуют группу элементарных событий. Количество всех элементарных событий n =6. Тогда А=Е₅+Е ₆, m_A =2 и

2. Все натуральныечисла от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Решение. Обозначим через А событие «число на взятой карточке кратно 5». В данном испытании имеется 30 элементарных событий, из которых событию А благоприятствует 6 событий (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

3. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных событий испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов

Определяем число событий, благоприятствующих событию А – «среди 6 взятых деталей 4 стандартных». Четыре стандартные детали из семи стандартных можно взять способами, при этом остальные 6 – 4=2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 – 7=3 нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих событий равно .

Искомая вероятность равна отношению числа событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий:

4. Монета бросается два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпадет «орел».

Решение. Пусть А – событие: хотя бы один раз выпадет «орел». Тогда А ₁– событие: на 1-ом броске выпадет «орел», А ₂– событие: на 2-ом броске выпадет «орел». Очевидно, что А=А ₁ +А ₂. Находим

5. В урне 40 шариков: 15 синих, 5 зеленых и 20 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен синий или зеленый шарик?

Решение. Пусть А – событие: из урны будет извлечен цветной шарик. Через А ₁ – событие: извлечен синий шарик, А ₂ – событие: извлечен зеленый шарик. Тогда А=А ₁ +А ₂, причем события А ₁, А ₂ несовместные. Получаем

6. Подбрасывается игральный кубик. Чуму равна вероятность того, что выпадет четное число очков?

Решение. Введем обозначения: А – событие: выпало четное число очков; В_k – события: выпало k очков (k= 1, 2, 3, 4, 5, 6). Событие А означает, что наступило хотя бы одно из событий: В ₂, В ₄, В ₆, т.е. А=В ₂ +В ₄ +В ₆. Поскольку события В ₂, В ₄, В ₆несовместны, то можно воспользоваться формулой

при n= 3, учитывая, что В_k= 1/6 (k= 1, 2, 3, 4, 5, 6):

Замечание. Тот же результат получится и непосредственно по формуле

7. В коробке 10 шаров: 4 белых и 6 черных. По-очереди извлекаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть А – событие: оба шара белые. Тогда А ₁ – событие: 1-ый шар белый, А ₂ – событие: 2-ой шар белый. Очевидно, что А=А ₁ А ₂. Находим

8. В коробке 4 белых и 6 черных шаров. Два раза извлекают по одному шару и каждый раз кладут его обратно. Найти вероятность того, что оба раза вытащили белый шар.

Решение. Пусть А – событие: оба раза вытащили белый шар. Тогда А ₁ – событие: 1-ый раз вытащили белый шар, А ₂ - событие: 2-ый раз вытащили белый шар. Очевидно, что А=А ₁ А ₂, причем А ₁ и А ₂ независимые. Находим

9. Слово папаха составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами тщательно перемешаны. Четыре карточки извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить таким путем слово папа?

Решение. Обозначим через А, В, С, D соответственно события: извлечена первая, вторая, третья и четвертая буква слова папа из набора в 6 букв: а, а, а, п, п, х. Найдем вероятность событий: А, В/А, С/АВ, D/ABC.

; ; ; .

Тогда при n= 4получаем

10. В магазин поступают изделия с трех фабрик: 20% - с фабрики №1, 30% - с фабрики №2, 50% - с фабрики №3. Фабрика №1 допускает 1% брака, фабрика №2 допускает 2% брака, фабрика №3 допускает 0,5% брака. Случайным образом выбирается одно изделие. Найти вероятность того, что оно бракованное.

Решение. Пусть А – событие: выбранное изделие бракованное. Через H_i обозначим события: изделие поступило с фабрики № i (i= 1,2,3), причем H ₁, H ₂, H ₃ попарно несовместны. Тогда по формуле полной вероятности

11. Имеются две коробки с шарами. В 1-ой коробке содержится 99 белых шаров и 1 черный шар. Во 2-ой коробке содержится 1 белый шар и 99 черных шаров. Случайным образом выбирают коробку и достают один шар. Какова вероятность того, что это белый шар?

Решение. Пусть А – событие: достали белый шар. Тогда Н ₁ – событие: выбрана коробка №1, Н ₂ – событие: выбрана коробка №2. События Н ₁ и Н ₂ равновероятные, т.е.

Тогда

12. Производится 10 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,9. Найти вероятность того, что будет ровно 7 попаданий.

Решение. В качестве испытания рассмотрим выстрел, в качестве события А – попадание в цель. Получим схему Бернулли из n= 10 испытаний, р= 0,9. Требуется найти P ₁₀(7):

13. Испытывается 100 приборов. Вероятность того, что прибор не пройдет испытание равна 0,2. Найти вероятность того, что испытание пройдет не менее 72 приборов.

Решение. По условию n= 100, p= 0,2, q= 0,8. Требуется найти вероятность того, что испытание не пройдет 28 или меньше приборов, т.е.

Тогда

В результате

14. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна Т.к. n= 400 достаточно велико (npq= 64 ), то

Тогда

Замечание. Весьма малое значение вероятности не должно вызывать сомнения, т.к. кроме события «ровно 300 семей из 400 имеют холодильники» возможно еще 400 событий: «0 из 400», «1 из 400»,…, «400 из 400» со своими вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, a значит, сумма их вероятностей равна 1.