Введение
Широкое использование математических методов и вычислительной техники открыло новые возможности совершенствования методов прогнозирования и оптимизации инженерных систем зданий. Наиболее актуальным является использование новых методов для оптимизации потребления тепловой энергии и прогнозировании параметров микроклимата в современных зданиях.
Математическая модель
В прикладных задачах исследуется не математический объект, а явления природы, производственный процесс и т.д. Исследование начинается с формализации объекта и построения соответствующей модели. Выделяются наиболее существенные черты и свойства и описываются с помощью математических уравнений. После построения математической модели появляется возможность изучение математическими методами.
Пример. Определить площадь комнаты.
Реальный объект - пол комнаты - заменяют абстрактной моделью – прямоугольником. Ему приписывают размеры, полученные в результате измерений, и площадь такого прямоугольника приближенно принимают за искомую площадь пола.
Соответствие математической модели изучаемому объекту
Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей. Она является его приближенным отражением. Результаты вычислений носят приближенный характер. Точность определяется степенью соответствия, адекватности модели и объекта.
Математические модели позволяют свести исследование реального «нематематического» объекта к решению математической задачи, воспользоваться для его изучения универсальным математическим аппаратом и получить благодаря этому объекту детальную количественную информацию.
Для решения математической задачи важно указать систему правил, которая задает строго определенную последовательность математических операций, приводящих к искомому ответу. Такую систему называют алгоритмом.
В простейших случаях это может быть выражено формулой.
Например, определение площади треугольника. Она равна произведению высоты на половину основания.
Однако существуют алгоритмы, в которых достаточно сложно использовать формулы.
Например, метод нахождения наименьшего частного делителя. Метод основан на последовательно осуществляемом переборе.
Решение уравнения в виде формулы не правило, а скорее исключение.
Метод решения линейных и квадратичных уравнений известен со времен Древней Греции. Решения уравнения третьей и четвертой степени получены только в XV в.
Формулы для решения полинома пятого и более высокого порядка не существует.
При рассмотрении неалгебраического уравнения задача усложняется. Явные выражения для поиска корней становятся исключением.
Пример. Для нахождения корня уравнения используем графический метод. Нанесем на график две кривые, характеризующие правую и левую часть уравнения:
x=cos(x) (1)
Y=X; Y=cos(x)
Рис. 1. Графическое решение уравнения x=cos(x)
Кривые пересекаются на отрезке 0>с>1; с - корень уравнения, однако получить его по формуле невозможно.
Для определения корня важное значение имеет алгоритм вычисления. Предварительно, как правило, формулу преобразуют и представляют в следующим виде
f(x) = 0 (2)
Для этой формулы возможно выполнить анализ ее свойств:
- непрерывность;
- дифференцируемость и др.
Качественное исследование уравнений
При решении уравнений важно знать заранее, имеет ли оно корни, и если имеет, то где они примерно располагаются.
Рис.2. Пример функции f(x), непрерывной на отрезке [0,1] и принимающей на концах отрезка значение разных знаков
На рис. 2 изображен график некоторой функции f(x), непрерывной на отрезке [0,1] и принимающей на концах отрезка значение разных знаков:
f(0)<0, f(1)>0.
График является непрерывной функцией, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Линия должна перейти из нижней полуплоскости Y<0 и верхнюю Y>0. При этом она не должна «перепрыгнуть» через ось X, а должна ее обязательно пересечь в некоторой точке X=c.В этой точке функция f(x) обращается в нуль, т.е. с является корнем уравнения (2).