СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Начертательная геометрия изучает методы построения изображений пространственных форм на плоскости и способы решения задач геометрического характера.
Изображения, выполненные по правилам начертательной геометрии, позволяют мысленно представить форму предметов, их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры.
Проецирование есть процесс построения изображения предмета на плоскости при помощи проецирующих лучей. В результате этого процесса получается проекция.
Проекцией называют изображение на плоскости предмета, расположенного перед ней.
Плоскость, на которую получают проекцию предмета, называют плоскостью проекций.
Комплексный чертеж (эпюр Монжа) – чертеж, составленный из взаимосвязанных ортогональных проекций геометрической фигуры. Чтобы преобразовать пространственный макет в эпюр, нужно совместить плоскости проекций П1 и П3 с третьей плоскостью П2, вращая П1 вокруг оси x, а П3 вокруг оси z.
Задать на эпюре точку А с координатами (5, 6, 7) Единичный отрезок выбрать самостоятельно
Конкурирующие точки – точки, расположенные на одной проецирующей прямой, но при этом удаленные от плоскости проекций на разное расстояние.
Прямой общего положения называют прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций и не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций. На рисунке 0 изображен чертеж прямой общего положения AB.
Рис.0. Три проекции прямой общего положения
К прямым частного положения относятся прямые уровня и проецирующие.
Прямые уровня – прямые параллельные какой-либо плоскости проекции (горизонталь, фронталь и профильная прямая).
Горизонталью называют любую прямую, параллельную горизонтальной плоскости проекции П1 (рис. 1).
Фронтальная и профильная проекции горизонтали параллельны соответственно осям проекций ОХ и ОY, так как координаты Z всех точек горизонтали равны. На горизонтальную плоскость проекции П1 горизонталь проецируется без искажения, поэтому горизонтальная проекция А1ВI горизонтали равна ее натуральной величине.
Рис. 1. Три проекции горизонтали
Фронталью называют любую прямую, параллельную фронтальной плоскости проекции П2 (рис. 2).
Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси ОХ, а профильная проекция параллельна оси ОZ, так как координаты Y всех точек фронтали равны. На фронтальную плоскость проекций фронталь проецируется без искажения, т. е. фронтальная проекция фронтали равна ее натуральной величине.
Рис. 2. Три проекции фронтали
Профильной прямой называют всякую прямую, параллельную профильной плоскости проекций (рис. 3).
Фронтальная и горизонтальная проекции профильной прямой располагаются на одном перпендикуляре к оси проекции ОХ - на линии связи, так как координаты Х всех точек профильной прямой равны. Профильная прямая проецируется на профильную плоскость проекции П3 без искажения.
Рис. 3. Три проекции профильной прямой
Отрезок – участок прямой, ограниченный двумя точками.
Проецирующие прямые - являются перпендикулярными к плоскостям проекций (горизонтально, фронтально и профильно проецирующие прямые).
Горизонтально - проецирующая прямая (рис. 4) перпендикулярна горизонтальной плоскости П1 и проецируется на нее в точку, а на П2 и П3 без искажения. Фронтальная и профильная проекции горизонтально - проецирующей прямой равны ее натуральной величине.
Рис.4. Три проекции горизонтально-проецирующей прямой
Фронтально - проецирующая прямая, перпендикулярная плоскости проекций П2 (рис. 5), проецируется на плоскость П2 в точку, а на плоскость П1 и П3 без искажения. Горизонтальная и профильная проекции фронтально - проецирующей прямой равны ее натуральной величине.
Рис. 5 Три проекции фронтально-проецирующей прямой
Профильно - проецирующая прямая, перпендикулярная плоскости П3 (рис. 6), на плоскость П3 проецируется в точку, а на плоскости П2 и П1 без искажения. Фронтальная и горизонтальная проекции профильно - проецирующей прямой параллельны ОХ и каждая из них равна натуральной величине данной прямой.
Рис. 6. Три проекции профильно-проецирующей прямой
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Рассмотрим, как изображаются на чертеже такие пары линий в каждом отдельном случае.
Параллельные прямые АВ и CD (рис. 7) проецируются на плоскости проекции также в параллельные прямые, что и служит признаком параллельности этих прямых в пространстве.
Рис. 7. Проекции параллельных прямых
Если прямые в пространстве параллельны, то и одноименные проекции их также параллельны, и наоборот: если одноименные проекции прямых параллельны, то и в пространстве эти прямые параллельны.
Пересекающиеся прямые АВ и CD (рис. 8) имеют общую точку М, горизонтальная и фронтальная проекции которой располагаются на одном перпендикуляре к оси проекции ОХ, что и является признаком пересекающихся прямых в пространстве
Рис. 8. Проекции пересекающихся прямых
Если прямые в пространстве не пересекаются и не параллельны между собой, то такие прямые называются скрещивающимися. Их проекции могут пересекаться, но точки пересечения одноименных проекций уже не расположены на одном перпендикуляре к оси проекций, как у пересекающихся прямых. Это и служит признаком скрещивающихся прямых. Если даны скрещивающиеся прямые на чертеже (рис. 9), то возникает необходимость определить, какая из прямых - АВ или CD - расположена ближе к зрителю (наблюдателю) как на горизонтальной проекции (на виде сверху), так и на фронтальной (на виде спереди).
Рис.9. Проекции скрещивающихся прямых
Плоскости общего положения – плоскости, которые не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций.
Плоскости уровня – плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций.
Проецирующие плоскости – плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.
Плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций, называется проецирующей, так как она сама проецирует на свой след все принадлежащие ей точки прямые и плоские фигуры. Здесь возможны три случая частных положений:
а) плоскость, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (рис. 10).
Рис. 10
б) плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной-проецирующей (рис. 11).
Рис. 11
в) плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекции называется профильно-проецирующей (рис. 12).
Рис. 12
Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекции, то для таких плоскостей встречается общее название "плоскости уровня". Здесь также возможны три случая частных положений:
а) горизонтальной называется плоскость, перпендикулярная к плоскостям П2 и П3 (рис. 13). Это плоскость параллельная горизонтальной плоскости проекций, следовательно, на нее она проецируется в натуральную величину (без искажения размеров), а две другие ее проекции отображаются в виде линии, причем
- фронтальный след плоскости параллелен оси OX;
- профильный след параллелен оси OY.
Рис. 13
б) плоскость, перпендикулярная к плоскостям проекций П1 и П3, называется фронтальной (рис. 14);
Рис. 14
в) профильная плоскость - перпендикулярная к плоскостям П1 и П2 (рис. 15).
Рис. 15
Способ задания плоскостей. Плоскость на комплексном чертеже может быть задана шестью различными способами: рис 16
1. Тремя точками, которые не лежат на одной прямой. На рисунке это т. A, B, C.
2. Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой.
3. Двумя пересекающимися прямыми.
4. Двумя параллельными прямыми (пересекающимися в несобственной точке).
5. Отсеком плоской фигуры Ф.
6. Следами. Этот способ удобен тем, что позволяет наглядно представить расположение плоскости в пространстве.
Рис 16
Принадлежность прямой к плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости. Чтобы построить на чертеже точку, лежащую в заданной плоскости, предварительно строят прямую, лежащую в заданной плоскости и на этой прямой берут точку.
Например, требуется найти горизонтальную проекцию точки D, если задана ее фронтальная проекция D2 и известно, что точка D должна находиться в плоскости, определяемой треугольником АВС. Для этого проводят прямую через точки A2 и C2 и отмечают точку 12, в которой прямая A2C2 пересекает отрезок В2D2. Построив 12 на A2C2, получают прямую B1, расположенную в данной плоскости. Искомая горизонтальная проекция D1 точки D должна быть на продолжении горизонтальной проекции прямой B1 (рис. 17).
Рис. 17
Поверхностью называют множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве. Эта линия может быть прямой или кривой и называется образующей поверхности.
Линия, с помощью которой задается направление перемещения образующей, называется направляющей.
Любую поверхность можно получить разными способами.
Например, прямой круговой цилиндр можно создать вращением образующей l вокруг оси I параллельной ей. А можно - перемещением окружности m, центр которой скользит по оси.
Также любая кривая k, лежащая на поверхности цилиндра, образует эту поверхность при своем вращении вокруг оси (рис. 18).
Рис 18
На практике из всех возможных способов образования поверхности выбирают наиболее простой.
Гранные поверхности образуются перемещением прямолинейной образующей по ломанной направляющей. При этом, если одна точка образующей (S) неподвижна, создается пирамидальная поверхность (рис. 19 а). Если образующая параллельна заданному направлению, то создается призматическая поверхность (рис.19 б).
а б
Рисунок 19
Замкнутые гранные поверхности называются многогранниками. Элементами многогранников являются:
Вершина – точка S образующей (у призмы она находится в бесконечности);
грань - часть плоскости, ограниченная направляющей и образующими;
ребро – линия пересечения соседних граней;
основание – часть плоскости, ограниченная направляющей.
Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Из всего многообразия выпуклых многогранников наибольший практический интерес представляют: пирамиды, призмы, призматоиды.
Пирамида это многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной S (20.а).
а б
Рисунок 20
Призма — многогранник, у которого основания это два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани — параллелограммы (рис. 20.б).
На комплексном чертеже многогранники задают проекциями их вершин и ребер с учетом видимости. Видимость ребер определяют с помощью конкурирующих точек.