Глава 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
Пункт 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра
Для того чтобы дать определение интеграла, зависящего от параметра, введем функцию 
. Пусть эта функция будет определена на некотором множестве 
, где 
и 
, то есть в результате получится множество 
. Если функция непрерывна в D, то тогда имеет смысл интеграл 
, где x принадлежит некоторому конечному или бесконечному промежутку 
, значит, интеграл может быть несобственным.
На основании этого можно дать определение интеграла, зависящего от параметра.
Определение.
Интеграл 
называется интегралом, зависящим от параметра, если интегрируема на промежутке 
при любом фиксированным 
, где 
.
Следовательно, 
представляет собой функцию 
переменной (параметра) 
, определенную в промежутке 
. Возможно также существование интеграла при фиксированном 
, тогда он будет представлять собой функцию переменной (параметра) 
, определенную в промежутке 
. Обозначается она так 
, так что 
.
Основная задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции . Эти свойства имеют многообразные применения, особенно при вычислении несобственных интегралов.
Пример. Найти интеграл от функции 
,
Функция 
непрерывна на отрезке 
при любом фиксированном 
, а значит, она интегрируема. Тогда
.
Пункт 2. Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность интеграла как функции параметра
Определение.
Пусть 
- это предельная точка множества 
.Функция называется равномерно сходящейся к функции 
при 
по переменной , если выполняются следующие условия:
1. для при существует конечная предельная функция 
;
2. 
. (1)
Замечание 1.
В цепочки (1) 
зависит только от 
и не зависит от , а неравенство 
выполняется при любых одновременно.
Замечание 2.
Если 
, то в цепочке (1) неравенство 
следует заменить на 
(
).
Теорема 1 (признак сходимости). Если функция определена на множестве 
, то для того, чтобы она имела предельную функцию и сходилась к ней равномерно необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка
Докажем теорема так.
Необходимость. Пусть функция равномерно сходится. Если заменим в определении на 
и выберем соответственно , а затем возьмем два значения и 
из так, чтобы выполнялись условия и 
. В результате получим 
и 
откуда следует последнее неравенство в цепочке 
.
Достаточность. Теперь пусть существует предельная функция . Нужно доказать равномерную сходимость функции к предельной функции. Для этого совершим переход к пределу в неравенстве при 
, получается 
. Что и подтверждает равномерную сходимость к функции .
Теорема 2 (о непрерывности предельной функции). Если функция при любом фиксированном непрерывна на 
и равномерно сходится к предельной функции по переменной при , то функция также непрерывна на .
Легко обобщается теорема Дини: если функция непрерывна для любого фиксированного на и при возрастании функция, монотонно возрастая, стремится к предельной функции , то сходится к равномерно.
Теорема 3 (предельный переход по параметру под знаком интеграла). Если функция непрерывна при постоянном значении на 
и сходится равномерно по переменной к предельной функции при , то тогда имеет место равенство
(2)
Доказательство.
Непрерывность следует из теоремы 2, значит, она интегрируема на отрезке . В силу равномерной сходимости к выполняется 
. Тогда при тех же и имеем:
откуда следует 
, что доказывает формулу (2).
Замечание 3.
Равенство (2) можно записать и в другом виде
. (2`)
Следствие 1.
Если функция при постоянном непрерывна по и при возрастании стремится, монотонно возрастая, к непрерывной предельной функции , то справедливы формулы (2) и (2`).
В предположении, что область представляет собой конечный промежуток , рассмотрим вопрос о непрерывности функции .
Пример (№3713 (в)). Найти 
.
1. функция 
непрерывная функция на 
. Функции 
и 
также непрерывны на 
.
2. 
непрерывная функция (т.4 и сл.2) в промежутке , значит 
3. 
.
Теорема 4 (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть функция определена и непрерывна в прямоугольнике 
, тогда интеграл 
будет непрерывной функцией от параметра 
в промежутке .
Доказательство.
Так как непрерывна на замкнутом множестве, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на данном прямоугольнике 
. Возьмем любое 
и зафиксируем 
. Тогда нашему значению 
будет соответствовать 
, такое, что для любых двух точек 
, 
принадлежащих 
, из неравенств 
и 
, будет следовать 
. Положим 
, 
, где , 
- любые из , и 
, где . Тогда получим
. Это означает, что функция 
равномерно стремится к 
. В таком случае по теореме 3 
, а уже отсюда следует равенство 
, то есть наша функция непрерывна на .
Замечание 4. Совершенно аналогично доказывается теорема для 
, где .
Следствие 2. Если непрерывна на прямоугольнике , то .
Пример. Найти 
.
1. 
непрерывна на 
2. тогда по теореме 4. и следствию 2 получаем
