Сходимость, равномерная сходимость ряда

Рассмотрим сходимость и равномерную сходимость остатка ряда , что несколько проще, но приводит к тому же результату. Используем для этого теорию числовых рядов. Пусть , тогда есть числовой ряд. Он может сходиться или расходиться. Пусть этот ряд сходящийся, тогда

Пусть при числовой ряд также сходится, тогда

Нетрудно понять, что один из этих рядов может сходиться медленнее, чем другой, следовательно, и не обязательно равны, то есть .

В результате, если остаток ряда сходится в некоторой области, то

отсюда следует, что при сходимости ряда в некоторой области для всех из этой области выполняется условие

Для некоторых рядов удается определить область, где выполняется условие

то есть значение одинаково для всех точек рассматриваемой области. В этом случае ряд называется равномерно сходящимся в этой области.

Покажем на примере, что некоторые ряды являются равномерно сходящимися, но есть и такие сходящиеся ряды, которые не сходятся равномерно.

Пример 1. Рассмотрим ряд

в области , где любое положительное число.

Легко установить, что данный ряд можно представить в виде

Подсчитаем ю частичную сумму ряда, предварительно раскрыв скобки, очевидно, . Определим сумму ряда . Поскольку , имеем , а .

Но в этом случае

откуда следует, что и, поскольку и положительные числа, то

, откуда имеем . Итак, установлено , начиная с которого выполняется условие сходимости остатка ряда. Следовательно, ряд в области сходится.

Если мы выберем , то при любых из заданной области, следовательно, условие

выполняется при любом , и не зависит от . Ряд в указанной области сходится равномерно.

Пример 2. Рассмотрим ряд

в области . Запишем , предварительно раскрыв скобки и произведя сокращения. Тогда . Сумма ряда в указанной области . Остаток ряда , причем . Определим , начиная с которого выполняется условие . Очевидно, в заданной области из следует . Логарифмируя, получаем . Поскольку в рассматриваемой области , . Итак, . При этом невозможно найти такое , не зависящее , чтобы выполнялось условие равномерной сходимости. Дело в том, что при , то есть с ростом число растет до сколь угодно больших величин. Отметим, что при не равным нулю остается только первый член. Итак, в области ряд сходится, но не равномерно.

Свойства равномерно сходящихся рядов

1. Если члены ряда - есть непрерывные в некоторой области функции, а ряд в этой области сходится равномерно, то сумма ряда - непрерывная в этой области функция.

2. Если члены ряда непрерывные в области функции и ряд сходится в ней равномерно, то его можно почленно интегрировать в любых пределах, лежащих в указанном промежутке, причем

3. Если ряд сходится в промежутке , и его члены имеют непрерывные в этом промежутке производные , причем ряд из производных сходится в равномерно, то ряд также сходится равномерно, и его можно дифференцировать почленно, причем

Степенные ряды

Ряд , где постоянные коэффициенты, называется степенным. Очевидно, этот ряд есть частный случай функционального ряда, следовательно, не обязательно сходится при любых . Естественно, представляет интерес определение области сходимости степенного ряда, то есть то множество значений аргумента , при которых ряд сходится.

Теорема. Степенной ряд сходится абсолютно в области , где , и расходится в области .

Доказательство. Поскольку , да и не обязательно положительны, ряд, вообще говоря, является знакопеременным. Чтобы доказать абсолютную сходимость ряда, необходимо рассмотреть ряд из абсолютных величин членов этого ряда . Теперь к знакоположительному числовому ряду применим признак Даламбера: , где . В соответствии с признаком Даламбера рассматриваемый ряд сходится при и расходится в области . Итак, область абсолютной сходимости степенного ряда , где . В области ряд расходится.

Вследствие этого, промежуток называется областью абсолютной сходимости степенного ряда, а называют радиусом его сходимости.

Замечания.

1). Признак Даламбера не работает, если предел равен единице, следовательно, он неприменим при (). Исследование сходимости рядов в этих точках производится отдельно.

2). При выведении формулы радиуса сходимости степенной ряд считался "полным", то есть в нем присутствовали все целые, положительные степени . Если ряд не содержит всех степеней , формула для радиуса сходимости будет неверной. В этом случае при исследовании сходимости каждого конкретного степенного ряда следует составить ряд из модулей его членов, после чего применить признак Даламбера. Очевидно, такую процедуру можно применять и при определении области сходимости и "полных" рядов.

Пример 1.

. Ряд "полный", его можно исследовать двумя способами.

Первый способ.

Итак, .

Второй способ. Рассматривается ряд . Пусть общий член этого ряда, тогда . Применяем признак Даламбера

Естественно, получается тот же результат.

Исследуем граничные значения области сходимости.

При получаем числовой ряд . Ряд знакоположительный, его члены меньше членов сходящегося ряда , следовательно, он сходится.

При имеем знакочередующийся числовой ряд . Рассмотрим ряд из модулей его членов , но это сходящийся ряд, что мы только что подтвердили, следовательно, знакочередующийся ряд сходится абсолютно. Итак, область абсолютной сходимости исследуемого ряда . При остальных значениях ряд расходится.

Пример 2. Ряд "неполный", так как содержит только нечетные степени . Применяем второй способ, рассмотрев ряд из абсолютных величин членов исходного ряда . Применим к нему признак Даламбера. Общий член ряда , тогда . Подсчитаем предел

Получаем область сходимости или .

Исследуем граничные точки:

при имеем . Знакоположительный ряд расходится, что следует из сравнения его с расходящимся рядом с помощью второй теоремы сравнения. Предел отношения членов этих рядов . Поскольку значение предела больше нуля и меньше бесконечности, ряды ведут себя одинаково. Очевидно, расходится и получившийся на границе знакоотрицательный ряд;

при имеем . Это знакочередующийся ряд, он сходится условно, так как .

Итак, область сходимости ряда .

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда в области (промежутке) его сходимости есть непрерывная функция.

2. Степенной ряд в его области (промежутке) сходимости можно почленно интегрировать, причем сумма нового ряда равна интегралу от суммы исходного ряда.

3. Степенной ряд в промежутке его сходимости можно почленно дифференцировать, сумма продифференцированного ряда равна производной суммы исходного ряда.

Примечание. Часто встречаются степенные ряды, более общего вида

При исследовании их области сходимости делается замена , приводящая ряд к уже известному ряду .

Исследование степенных рядов с помощью МАКСИМЫ

Рассмотрим изученный выше ряд

Итак, радиус сходимости 1. В граничных точках области ряды сходятся в соответствии с третьей командой. Область сходимости ряда .

Примеры для самостоятельного решения

Исследовать сходимость степенных рядов

16.1. , 16.2. , 16.3. , 16.4. ,

16.5. , 16.6. , 16.7. , 16.8. .

Ответы.

16.1. , 16.2. , 16.3. , 16.4. ,

16.5. , 16.6. , 16.7. , 16.8. .

Ряд Тейлора

В первой части курса для раз дифференцируемой функции была получена формула Тейлора

и ее частный случай – формула Маклорена

Вопрос ставится так, нельзя ли обобщить формулу Тейлора для бесконечно дифференцируемой функции, представив ее в виде ряда.

Поскольку формула Тейлора превращается в формулу Маклорена при помощи замены , не нарушая общности рассуждений, рассмотрим такую возможность для формулы Маклорена.

Пусть

тогда - основная часть формулы Маклорена - является одновременно частичной суммой степенного ряда . В соответствии с формулой Маклорена

то есть остаток в формуле Маклорена должен являться остатком степенного ряда. Но предел остатка ряда при должен стремиться к нулю, что следует из теории рядов. Таким образом, представление возможно при выполнении условия и, конечно, в области сходимости степенного ряда.

Имеются различные формы представления остатка в формуле Маклорена. Представим остаток в форме Лагранжа ,

где . Проведем его оценку абсолютной величины остатка , для чего с помощью признака Даламбера исследуем сходимость ряда : при любом конечном значении . Но для сходящегося ряда должно выполняться необходимое условие сходимости , то есть при и любом конечном значении как , так и стремятся к нулю. Значит, при бесконечно малая функция. Если функция - ограничена, то также бесконечно малая, следовательно,

Разложение в ряд функции

В первой части курса математического анализа была получена формула Маклорена для этой функции. Приведем эту формулу, приняв остаточный член в форме Лагранжа

Рассмотрим остаток ряда . Как уже говорилось выше, первый сомножитель в этом выражении при и любом конечном значении – есть бесконечно малая функция. Но также при любом значении - ограниченная величина: . Известно, что бесконечно малая, умноженная на ограниченную функцию, также является бесконечно малой и , следовательно, , конечно, в области сходимости ряда. Определим радиус сходимости ряда . Поскольку , . Тогда . Область сходимости ряда для функции , следовательно, .

Эта область фактически уже определена выше с помощью признака Даламбера, в результате применения которого установлено, что предел при любом равен нулю, и ряд сходится абсолютно при любом .

Разложение с помощью МАКСИМЫ

D формуле Тейлора первым параметром является разлагаемая функция, второй указывает, по какой переменной происходит разложение, третий – в окрестности какой точки это разложение (в ряде Маклорена ), последний аргумент задает количество членов разложениия

Представление в виде рядов функций .

Запишем формулы Маклорена для функций и . И представим остаточные члены в форме Лагранжа. Пусть . Тогда

, , , .

Покажем, что я производная вычисляется по формуле . В самом деле, при имеем , при получаем , при , очевидно, , при имеем ,

при и так далее. Нетрудно заметить, что формула для ой производной верна. Отсюда следует, что при функция равна 1, все ее нечетные производные равны нулю, а четные равны . Формула Маклорена принимает вид

().

Докажем, что я производная функции может быть представлена формулой .

Проверим это. , , , и так далее.

Из формулы для ой производной имеем при функция и ее четные производные равны нулю, а нечетные . Итак,

Поскольку

, , ,

имеем

, .

Таким образом,

Поскольку остаточные члены обоих рядов стремятся к нулю при , областью сходимости обоих рядов является вся числовая ось.

Проверим этот результат, для чего исследуем ряды из абсолютных величин

, .

В соответствии с признаком Даламбера

пределы в обоих случаях равны 0 при любых , и в соответствии с признаком Даламбера область сходимости рядов для и , действительно, .

Разложение в МАКСИМЕ

Разложение в ряд функции

Используем геометрическую прогрессию, рассмотренную в начале темы "Ряды"

Она сходится, если . При геометрическая прогрессия представляет собой степенной ряд

сходящийся, естественно, в области . Его сумма была определена выше, она равна .

Как уже говорилось, степенной ряд можно почленно интегрировать в промежутке его сходимости. Выберем некоторое и вычислим

откуда следует

или

Ряд сходится в той же области , что легко проверяется.

В МАКСИМЕ

Формула Эйлера

При рассмотрении комплексных чисел использовалась без доказательства формула Эйлера . Теперь появилась возможность ее доказать. Используем разложение функции

Примем (в разложении использована договоренность, что ). Тогда

Если учесть, что и т.д., то

Сравнивая полученное выражение с разложениями

нетрудно убедиться, что формула Эйлера справедлива.

Ряды Фурье

Наряду со степенными рядами к наиболее распространенным функциональным рядам относятся ряды Фурье.

Классический ряд Фурье – это ряд вида

где постоянные коэффициенты. Таким образом, ряды Фурье - тригонометрические, а их сумма - периодическая функция с периодом .

Данное обстоятельство существенно ограничивает область применимости рядов Фурье, так как далеко не всякий реально происходящий процесс является периодическим, да еще с периодом . Поэтому основные усилия математиков были направлены на смягчение указанных ограничений путем внесения некоторых дополнительных условий, о чем будет сказано ниже.

Рассмотрим систему функций, входящих в ряд Фурье

Эта система функций обладает двумя важнейшими свойствами - ортогональностью и полнотой.

Определение 1. Систему функций называют ортогональной на некотором промежутке , если выполняются условия:

, .

Когда , система называется нормальной.

Покажем, что система функций

является ортогональной системой на интервале . Для этого вычислим несколько интегралов

, ,

Итак, доказано, что интегралы от произведений разных функций этой системы равны нулю, интегралы от произведений одинаковых функций равны и . Ортогональность системы функций доказана.

Определение 2. Система функций является полной в заданном промежутке, если нет ни одной, не входящей в эту систему, функции, кроме функции, тождественно равной нулю, ортогональной функциям системы.

Например, система косинусов не обладает полнотой, так как любой ортогонален и к 1, и ко всем функциям . Следствием этого является то, что в ряды по косинусам можно разлагать не все, а только четные функции. По той же причине не обладает полнотой и система синусов , что позволяет разлагать в ряд Фурье по синусам только нечетные функции. Доказательство полноты достаточно сложно, поэтому ограничимся утверждением, что вышеприведенная система тригонометрических функций полна.

Полнота системы функций обеспечивает единственность разложения в ряд Фурье (представления в виде ряда Фурье) любой, удовлетворяющей некоторым условиям, функции, что весьма ценно при решении с помощью рядов Фурье всевозможных уравнений.

Определение 3. Если функция в некоторой области имеет конечное число точек разрыва первого рода (конечные разрывы), а между этими точками она непрерывна, такая функция называется кусочно-непрерывной.

Определение 4. Если в некоторой области функция имеет конечное число точек, между которыми она дифференцируема, а в самих этих точках существуют конечные значения левых и правых пределов, как самой функции, так и ее производной, то она называется кусочно-дифференцируемой в этой области.

Теорема. Для любой кусочно-дифференцируемой, периодической с периодом функции ее ряд Фурье сходится, а его сумма равна

здесь правый и левый пределы функции при (теорема приводится без доказательства).

Следствие. Сумма ряда равна , если функция непрерывна.

Известно, что ряд Фурье, представляющий разложение периодической непрерывной функции, сходится равномерно.

Разложение в ряд Фурье периодической функции

Теорема. Если периодическая функция непрерывна (или кусочно-непрерывна), то значение интеграла не зависит от .

Доказательство. .

В последнем интеграле сделаем замену переменной

что следует из периодичности подынтегральной функции. Тогда

Теорема доказана, поскольку .

Пусть периодическая, кусочно-дифференцируемая функция, следовательно, она разложима в ряд Фурье

Определим коэффициенты этого разложения, для чего умножим обе части равенства на и проинтегрируем в пределах от до . Тогда

Из ортогональности системы тригонометрических функций, это было доказано выше, следует, что интеграл , а все остальные интегралы в правой части равенства равны нулю. В этом случае

Нетрудно заметить, что полученная формула справедлива для .

Умножим обе части исходной формулы на и проинтегрируем в тех же пределах

Также из ортогональности рассматриваемых функций следует , все остальные интегралы в правой части равенства равны нулю, отсюда имеем

Здесь при интегрировании использовалась только что доказанная теорема.

Таким образом,

причем , .

Разложение в ряд Фурье периодической функции

Обобщим полученный результат на функции с периодом . Очевидно, такая возможность несколько расширяет область применимости рядов Фурье.

Пусть дана кусочно-дифференцируемая, периодическая с периодом функция, то есть удовлетворяющая условию . Перейдем от переменной к переменной , считая при этом . Тогда функция , причем осталась периодической, но ее период стал . Проверим это: