Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Теорема Байеса
13. Ученик 6б класса Костя Сидоров и два его приятеля засели с рогатками в кустах школьного двора, чтобы пострелять по голубям, воркующим на карнизе окна директорского кабинета. Едва они сделали по одному выстрелу, как оконное стекло со звоном разлетелось, и всей компании пришлось спасаться бегством от выскочившего во двор завхоза. Какова вероятность того, что разбитое окно дело рук Кости Сидорова, если из 10 выстрелов он обычно попадает 8 раз, а его приятели по 7?
(Примечание: случай коллективного попадания в окно исключается.)
14. Ученик 6б класса Костя Сидоров и его приятель, заняв выгодную позицию вблизи школьных дверей, обстреливали снежками всех выходящих девчонок. Когда дверь в очередной раз открылась, два снежка одновременно полетели в голову застывшего на пороге завуча - Маргариты Викентьевны. Какова вероятность того, что цель была поражена, если известно, что Костя обычно попадает 8 раз из 10, а его приятель только 7?
15. Любимое занятие двухлетней девочки Кати - срезать пуговицы с одежды. Пока мама готовила кашу, Кате удалось отстричь все 5 белых пуговиц с папиной пижамы и 3 черные пуговицы с маминого вечернего платья. Одну пуговицу Катя проглотила, а остальные засунула в глубокую щель между полом и плинтусом. За этим занятием ее и застала мама. С большим трудом мама сумела выковырять из щели 2 пуговицы. Какова вероятность того, что платье можно привести в порядок, если одна запасная пуговица у мамы есть?
16. Пока мама пекла пирог, двухлетняя девочка Катя успела срезать 7 белых пуговиц с новой папиной рубашки и 3 красные пуговицы с маминого халатика. Одну пуговицу Катя проглотила, а остальные засунула в щель между книжным шкафом и стеной. Маме, заставшей Катю за этим занятием, удалось с помощью реквизированных ножниц выковырять из-за шкафа одну белую пуговицу. Остальные достать не удалось. Какова вероятность того, что проглочена пуговица с папиной рубашки.
17. Симпатичная студентка Люся Копейкина к зачету успела выучить только 10 вопросов из 20, но надеется, что в случае неудачи уговорит профессора Аркадия Аристарховича задать ей второй вопрос. По многолетним наблюдениям профессора можно разжалобить в двух случаях из трех, и это соотношение не меняется с годами. Каковы Люсины шансы сдать зачет?
18. Симпатичная студентка Люся Копейкина знает к зачету только 15 вопросов из 30. Она считает, что если пойдет отвечать вторая, то ее шансы вытянуть счастливый билет увеличатся. Права ли она? Докажите.
19. Студент филфака Петя Чернышев ставит три ящика пива против двух, что, выучив 12 билетов из 30, он сдаст зачет по крайней мере со второго раза. Стоит ли его приятелю заключать пари? (Указание: найти отношение вероятностей благоприятного и неблагоприятного для Пети событий.)
20. В понедельник, после двух выходных, токарь Григорий вытачивает левовинтовые шурупы вместо обычных правовинтовых с вероятностью 0.5. Во вторник этот показатель снижается до среднецехового - 0.2. В остальные дни недели Григорий ударно трудится и процент брака среди изготавливаемых им шурупов составляет 10 %. При проверке недельной партии шурупов, выточенных Григорием, случайно выбранный шуруп оказался дефектным. Какова вероятность того, что шуруп изготовлен в понедельник?
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
21. Ученица 6б класса Ирочка Маслова, идя из школы домой, останавливается на перекрестке. Ей нужно перейти 2 улицы. В зависимости от того, как горит светофор, Ирочка либо сначала переходит через Средний проспект, оказывается перед лотком с мороженым, после чего пересекает 3-ью линию, либо же переходит линию, утыкается в ларек с жевачками, а затем уже переходит через Средний. Найти вероятность того, что в течение школьной недели Ирочка два раза лакомилась мороженым. (Примечание: школьная неделя - 6 дней.)
22. Симпатичная студентка Люся Копейкина со своим приятелем Петей Чернышевым катаются на лыжах. Люся - первоклассная лыжница. Ей ничего не стоит съехать с длинной крутой горы, на которой нужно к тому же сделать пять поворотов. Что касается Пети, то его шансы упасть или не упасть на каждом повороте равны. Какова вероятность того, что Петя съедет с горы, упав не больше двух раз?
23. Фасовщица Клава развешивает пряники в пакеты - по 1 кг в пакет. Пакеты Клава складывает в коробки - по 20 штук в коробку. Каждый из 10 пакетов Клава недовешивает. Контролер ОТК Иван Кузьмич подозревает Клаву в нечестности. Из 10 произвольных коробок он берет по одному пакету на проверку. Какова вероятность того, что у Ивана Кузьмича в руках окажется 3 недовевешенных пакета?
24. Самый правдивый человек на свете барон Мюнхаузен иногда все же любит несколько приукрасить действительность и в одном случае из пяти грешит против истины. Какова вероятность того, что из четырех рассказанных им историй - про чудесную штопку коня, разрубленного пополам, про путешествие на ядре в неприятельский город, про оленя, подстреленного вишневой косточкой и про жареных куропаток на шомполе, - хотя бы две абсолютно правдивые.
25. Чингачгук и его бледнолицый брат, засев в башне с круговым обстрелом, отражают нападение пяти французских солдат. У каждого из героев в карабине по 5 пуль, и пока они могут стрелять, подступиться к ним невозможно. У французов большое количество патронов. Кроме того, у них достаточно удобная позиция за скалами, и вероятность попасть в любого из них равна 1/2. Какова вероятность того, что французы будут полностью разбиты?
26. Том Сойер ставит свою дохлую крысу на веревочке против приятельского сломанного будильника, что при подбрасывании 6 монет выпадет 3 орла. Том считает, что шансы получить или не получить загаданный результат равны. Прав ли он?
27. По многолетним наблюдениям в районе 6-м телескопа из 30 ноябрьских ночей ясных бывает в среднем 10. Группе астрономов, собирающихся сделать мировое открытие, выделено 4 ночи для наблюдений. Найти вероятность того, что мировое открытие будет совершено, если для этого требуется по крайней мере 2 ясные ночи.
28. Игрок Смит бросает 6 игральных костей и выигрывает, если выпадет хотя бы одна единица. Игрок Джонс бросает 12 игральных костей и выигрывает, если выпадет хотя бы две единицы. У кого больше шансов выиграть?