29. Известно, что на 100 булочек с изюмом попадается одна, в которой изюма нет вообще. Ученик 6б класса Костя Сидоров ставит одну жевачку Dirol против одной приятельской, что из купленной в школьном буфете булочки он выковыряет хотя бы 4 изюминки. Справедливо ли такое пари? (Указание: найти вероятность того, что в купленной булочке будет по крайней мере 4 изюминки, считая, что число изюминок в булочке подчиняется закону Пуассона.)
30. В дневнике ученика 6б класса Кости Сидорова 60 страниц, и только одна из них без единого замечания, что является чистой случайностью. Сколько в дневнике страниц с тремя замечаниями? (Указание:найти вероятность того, что на произвольной странице имеется 3замечания, считая, что число замечаний на странице подчиняется закону Пуассона.)
31. Ученик 6б класса Костя Сидоров в диктанте из 20 предложений умудрился сделать 20 ошибок. Такое соотношение между числом ошибок и количеством предложений весьма характерно для Кости и не зависит от объема работы. Сколько в Костином диктанте предложений, в которых содержится по две ошибки?
(Указание: сосчитать вероятность двух ошибок в произвольном предложении в предположении, что число ошибок в предложении подчиняется закону Пуассона.)
32. Какова вероятность того, что, угощая Чичикова, Плюшкин принес ему незаплесневелый калач, если известно, что на хранящихся в кладовке Плюшкина хлебобулочных изделиях в среднем по 4 подозрительных сине-зеленых пятна.
33. Симпатичная студентка Люся Копейкина помогает профессору Аркадию Аристарховичу проводить важный научный эксперимент над крысами. Найти вероятность того, что хотя бы 10 крыс из 50 переживут Люсин эксперимент, если считается, что выживаемость несчастных зверьков равна 0.5.
34. В передовой научной лаборатории удалось скрестить картофель с ананасом. К сожалению, саженцы столь перспективного растения плохо приживаются - из 10 начинает плодоносить только одно. Юннаты из подшефного кружка помогают ученым в их выдающихся исследованиях. Ими высажено 400 удивительных растений. Найти вероятность того, что не меньше 100 из них будут в скором времени давать урожай.
ОТВЕТЫ
1. По классическому определению вероятности события имеем: C42 / C122 =1/11. Другой способ: пусть событие A = {1-ая пуговица с куртки}, событие B = {2-ая пуговица с куртки}. Тогда A . B = {обе пуговицы с куртки}, или P(A . B) =P(A) . P(B|A) = 4/12 . 3/11 =1/11.
2. Перейти к противоположному событию: 1 - C122 / C152 = 13/35.
3. 20!/2020 =0.00000002....
4. Перейти к противоположному событию: 1 - C93 / C153 = 12/65.
5. Пусть A = {1-ый горшочек с медом}, B = {2-ой горшочек с медом}. Тогда P(A . B) = 5/11 . 4/10 = 2/11. Или - C52 / C112 = 2/11.
6. Перейти к противоположному событию: 1 - 7!/77 = 0.99388....
7. Вероятность того, что все десять штрафов случайным образом пришлись именно на эти дни недели, равна (2/7)10 = 0.0000036?. Это очень маленькая величина. Даже если речь идет не о конкретных днях недели, а о двух произвольных днях, то и в этом случае вероятность очень мала:C72 (2/7)10 = 0.000076?. Отсюда следует, что полиция скорее всего действует по определенной схеме. Профессору надо посоветовать на эти дни оставлять машину на платной стоянке. (Задача взята из книги В.Феллера "Введение в теорию вероятностей и ее приложения", Т.1, "Мир", 1984.)
8. 1 - шутка!
9. Пусть A = {выигрывает Иван Кузмич}, B = {выигрывает Пелагея Марковна}. Тогда P(A) = (4/5)3 = 0.512, P(B) = 1 - (4/5)3 = 0.488.
10.Вероятность того, что фирма не закроется в первый день,P1 =10-1, во второй -P2 = 10-2 и т.д. Вероятность того, что фирма просуществует целую неделю, равна
P = P1 . P2 . P3 . P4 . P5 . P6 . P7 =10-1. 10-2. 10-3. 10-4. 10-5. 10-6. 10-7=10-28.
11. Перейти к противоположному событию: 1 - (1 - C42 / C322)n > 1/2. Отсюда n > lg(2)/lg(248/245) = 56.95....
12. Вероятность выбрать правильную комбинацию при одной случайной попытке: (1/7)2 . Вероятность не подобрать нужное сочетание 40 раз подряд:(1 - 1/72)40 = (48/49)40. Искомая вероятность - 1 - (48/49)40 = 0.56166....
13. Если известно, что попал кто-то один (событие A), то возможны следующие гипотезы: H1 = {попал Костя}, H2 = {попал 1-ый приятель}, H3 = {попал 2-ой приятель}. P(H1)= =0.8 . 0.3 . 0.3= 0.072, P(H2) =0.2 . 0.7 . 0.3 = 0.042, P(H2) =0.2 . 0.3 . 0.7 = 0.042. По формуле Байеса имеем P(H1|A) = P(H1) . P(A|H2)/P(A) = 0.072/(0.072 + 0.042 + 0.042) =6/13=0.46....
14. Пусть A = {попал Костя}, B = {попал приятель}. Искомое событие - A+B. Тогда P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A . B) = 0.8 + 0.7 - 0.8 . 0.7 = 0.94.
15. Событие A = {мама достала 2 черные пуговицы}. Возможны две гипотезы: H1 = {проглочена белая пуговица} и H2 = {проглочена черная пуговица}. P(H1) = 5/8, P(H2) = 3/8. По формуле полной вероятности находим P(A) = P(H1) . P(A|H1) + P(H2) . P(A|H2) = 5/8 . C32 / C72 + 3/8 . C22 / C72 = 13/28.
16. До того, как мама достала пуговицу были возможны следующие гипотезы: H1 = {проглочена белая пуговица} и H2 = {проглочена красная пуговица}. Вероятности этих гипотез P(H1) = 0.7, P(H2) = 0.3. Пусть событие A = {мама достала белую пуговицу}. По формуле полной вероятности находим P(A) = 0.7 . 6/9 + 0.3 . 7/9 = 0.7. Тогда P(H1|A) = P(H1) . P(A|H2)/P(A) = 0.7 . 6/9/0.7 = 2/3.
17. Люся либо сразу знает вопрос (вероятность 10/20), либо не знает (вероятность 10/20), но уговаривает профессора (вероятность 2/3) задать второй - из оставшихся 19-ти. При этом вероятность получить зачет равна (по формуле сложения вероятностей для несовместных событий) - 10/20 + 10/20 . 2/3 . 10/19 = 77/114= 0.675....
18. Безразлично, какой по порядку отвечать. Вероятность сдать зачет, отвечая первой - 15/30 = 1/2. Вероятность сдать зачет, отвечая второй - 15/30 . 14/29 + 15/30 . 15/29 = 1/2.
19. Пусть событие A = {Петя сдал зачет с первого или второго раза}. P(A) = 12/30 + 18/30 . 12/30 = 16/25. Вероятность противоположного события - 9/25. Отношение этих вероятностей - 16/9 > 3/2. Следовательно, пари невыгодно для Петиного приятеля.
20. Событие A = {шуруп дефектный}. Возможны три гипотезы: H1 = {шуруп изготовлен в понедельник}, H2 = {шуруп изготовлен во вторник}, H3 = {шуруп изготовлен в среду, четверг или пятницу}. P(H1) = 1/5, P(H2) = 1/5, P(H3) = 3/5. По формуле полной вероятности находим P(A) = 1/2 . 1/5 + 1/5 . 1/5 + 1/10 . 3/5= 1/5. Тогда по формуле Байеса имеем P(H1|A) = P(H1) . P(A|H2)/P(A) = 1/5 . 6/9 / 1/5 = 1/2.
21. По формуле Бернулли имеем - C62. (1/2)2. (1/2)4 = 15/64 = 0.23....
22. По формуле сложения несовместных событий и формуле Бернулли имеем - C60. (1/2)5 + C61. (1/2)5 + C62. (1/2)5 = 11/16.
23. C103. (1/10)3. (9/10)7 = 0.057....
24. Перейти к противоположному событию: 1 - [C40. (1/5)4. (4/5)0 + C41. (1/5)3. (4/5)1] = 608/625 = 0.97....
25. Событие A = {французы полностью разбиты}. Противоположное событие - {израсходованы 10 пуль, но хотя бы один француз жив}, т.е. из десяти выстрелов было либо 0 удачных, либо 1 удачный, либо 2 удачных, либо 3 удачных, либо всего 4 удачных. Вероятность этого события -C100. (1/2)0. (1/2)10 +C101. (1/2)1. (1/2)9 +C102. (1/2)2. (1/2)8 +C103. (1/2)3. (1/2)7 +C104. (1/2)4. (1/2)6 = 386/1024. Искомая вероятность: 1 - 386/1024 = 638/1024 = 0.62....
26. Том не прав. Событие A = {при подбрасывании 6 монет выпадет ровно 3 орла}. P(A) = C63. (1/2)3. (1/2)3 = 5/16. Вероятность противоположного события -11/16.
27. Событие A = {из 4-х ночей будет по крайней мере 2 ясные}. Противоположное событие - {из 4-х ночей не будет ни одной ясной, либо всего одна}. Вероятность этого события - C40. (1/3)0. (2/3)4 +C41. (1/3)1. (2/3)3 = 16/27. Тогда P(A) = 1 - 16/27 = 11/27 = 0.407....
28.P(C) =1-(5/6)6=0.665102...P(D) =1- [C120. (1/6)0. (5/6)12 + C121. (1/6)1. (5/6)11 ] =0.6186673...
29. При большом числе испытаний n распределение Бернулли переходит в распределение Пуассона. Вероятность найти ровно m изюминок в булочке подчиняется закону Пуассона: Pn(m) = um. e-u/m!, где u - среднее число изюминок в булочке. По условию задачи Pn(0) = e-u = 1/100. Отсюда u = ln(100). Искомая вероятность равна 1- [Pn(0) + Pn(1) + Pn(2) + Pn(3)] = 0.675.... При равных ставках пари несправедливо для Костиного приятеля, так как вероятность выигрыша (0.675) больше вероятности проигрыша (0.325).
30. N0(число страниц без замечаний) = 60 . Pn(0) = 60 . u0. e-u/0! = 1. Отсюда находим среднее число замечаний на странице u = 4.09.... Ожидаемое число страниц с тремя замечаниями равно N3 = 60 . Pn(3) = 60 . u3. e-u/3! = 11.4....
31.Судя по всему Костя в среднем делает 1 ошибку на одно предложение,т.е. u=1. Отсюда ожидаемое предложений с двумя ошибками равно N2=20 . Pn(2)=20 . u3. e-u/2! =20 . e-1/2 =3.7
32. По условию задачи u = 4. Следовательно, Pn(0) = u0. e-u/0! = e-4 = 0.018....