Определение рациональных способов раскроя материала.

Цели

Показаны возможности использования модели линейного программирования для решения задач раскроя. Эта об­ласть приложения модели линейного программирования хорошо изучена. Благодаря работам в области оптимального раскроя ос­новоположника теории линейного программирования лауреата Нобелевской премии академика Л.В. Канторовича задачу опти­мального раскроя можно назвать классической прикладной опти­мизационной задачей.

После того как вы выполните задания, вы будете уметь формулировать и использовать для эконо­мического анализа следующие понятия:

• материал;

• заготовка;

• отходы;

• способ раскроя (рациональный и оптимальный);

• интенсивность использования рациональных способов рас­кроя.

Модели

Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в виде стандартных форм. Непосред­ственное использование таких материалов, как правило, невоз­можно. Предварительно их разделяют на заготовки необходимых размеров. Это можно сделать, используя различные способы рас­кроя материала. Задача оптимального раскроя состоит в том, что­бы выбрать один или несколько способов раскроя материала и определить, какое количество материала следует раскраивать, при­меняя каждый из выбранных способов. Задачи такого типа воз­никают в металлургии и машиностроении, лесной, лесообрабаты­вающей, легкой промышленности.

Выделяют два этапа решения задачи оптимального раскроя. На первом этапе определяются рациональные способы раскроя мате­риала, на втором — решается задача линейного программирова­ния для определения интенсивности использования рациональных способов раскроя.

Определение рациональных способов раскроя материала.

В задачах оптимального раскроя рассматриваются так называемые рациональные (оптимальные по Парето) способы раскроя. Пред­положим, что из единицы материала можно изготовить заготов­ки нескольких видов. Способ раскроя единицы материала назы­вается рациональным (оптимальным по Парето), если увеличение числа заготовок одного вида возможно только за счет сокращения числа заготовок другого вида.

Пусть k — индекс вида заготовки, k = 1,.... q; i — индекс спо­соба раскроя единицы материала, i = 1,..., р; а_ik — количество (це­лое число) заготовок вида k, полученных при раскрое единицы материала <-м способом.

Приведенное определение рационального способа раскроя мо­жет быть формализовано следующим образом.

Способ раскроя v называется рациональным (оптимальным по Па­рето), если для любого другого способа раскроя i из соотношений а_ik ³ а_vk, k = 1,..., q, следуют соотношения а_ik = а_vk, k = 1,..., q.

2. Определение интенсивности использования рациональных спо­собов раскроя.

Обозначения:

j —индекс материала, j = 1,..., п;

k —индекс вида заготовки, k = 1,..., q;

i — индекс способа раскроя единицы материала, i = 1,..., р;

а_ijk — количество (целое число) заготовок вида k, полученных при раскрое единицы j -го материала i -м способом;

b_k — число заготовок вида k в комплекте, поставляемом заказ­чику;

d_j — количество материала j -го вида;

x_ji — количество единицу j -го материала, раскраиваемых по i -му способу (интенсивность использования способа раскроя);

c_ji — величина отхода, полученного при раскрое единицы j -го материала по i -му способу;

у — число комплектов заготовок различного вида, поставля­емых заказчику.

Модель А раскроя с минимальным расходом материалов:

Здесь (1) — целевая функция (минимум количества использу­емых материалов);

(2) — система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для выполнения заказа;

(3) — условия неотрицательности переменных.

Специфическими для данной области приложения модели ли­нейного программирования являются ограничения (2).

Модель В раскроя с минимальными отходами:

Здесь (4) — целевая функция (минимум отходов при раскрое ма­териалов);

(5) — система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для выполнения заказа;

(6) — условия неотрицательности переменных.

Модель С раскроя с учетом комплектации:

Здесь (7) — целевая функция (максимум комплектов, включающих заготовки различных видов);

(8) — ограничения по количеству материалов;

(9) — система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для формирования комплектов;

(10) — условия неотрицательности переменных.

Специфическими для данной области приложения модели ли­нейного программирования являются ограничения (9).

Примеры

Пример 1. Способы раскроя металлического стержня.

Определите все рациональные способы раскроя металлического стержня длиной 100 см на заготовки трех типов: длиной 20, 30 и 50 см. Укажите величину отходов для каждого способа.

Решение. Для данного материала и указанных заготовок су­ществует семь различных рациональных способов раскроя. Все они приведены в следующей таблице:

Пример 2. Способы раскроя куска кожи.

Определите все рациональные способы раскроя прямоугольного куска кожи размером 100 х 60 см на квадратные заготовки со сторо­нами 50,40 и 20 см и укажите величину отходов для каждого способа.

 

Пример 3. Изготовление парников из металлических стержней.

При изготовлении парников используется материал в виде ме­таллических стержней длиной 220 см. Этот материал разрезается на стержни длиной 120, 100 и 70 см. Для выполнения заказа тре­буется изготовить 80 стержней длиной 120 см, 120 стержней дли­ной 100 см и 102 стержня длиной 70 см.

Вопросы:

1. Сколько существует рациональных способов раскроя?

2. Какое минимальное количество материала следует разрезать, чтобы выполнить заказ?

3. Сколько способов раскроя следует использовать при выпол­нении заказа?

Вопросы

Вопрос 1. Способ раскроя называется рациональным, если:

1) он является безотходным;

2) он обеспечивает минимум отходов;

3) отходы меньше любой из заготовок;

4) он позволяет получить наибольшее число заготовок;

5) нет другого способа, дающего не меньше заготовок каждого типа.

Вопрос 2. Рассматривается задача оптимального раскроя дере­вянных брусьев на заготовки для строительства дома. Длина бру­сьев измеряется в сантиметрах. В соответствующей модели линей­ного программирования неизвестными являются интенсивности рациональных способов раскроя материала, значения которых измеряется в штуках. В качестве критерия рассматривается мини­мум отходов. В каких единицах измеряется коэффициент целевой функции?

Варианты ответов:

1) шт.; 2) см; 3) шт./см; 4) см/шт.;

5) безразмерная величина.

Вопрос 3. Рассматривается задача оптимального раскроя кожи для пошива перчаток. В соответствующей модели линейного про­граммирования учитывается ограничение на количество матери­ала. Правая часть ограничения измеряется в штуках кожи. Мак­симизируется количество пар пошитых перчаток. В каких едини­цах измеряется двойственная оценка ресурсного ограничения?

Варианты ответов:

1) шт.; 2) пара; 3) пара/шт.; 4) шт./пара; 5) безразмерная величина.

Вопрос 4. Сколько существует рациональных способов раскроя металлического стержня длиной 100 см на стержни длиной 50, 20 и 10 см?

Варианты ответов:

1) более десяти; 2) десять; 3) девять;

4) восемь; 5) менее восьми.

Вопрос 5. Какое из следующих утверждений является верным?

Варианты ответов:

1) безотходный способ раскроя является рациональным;

2) безотходный способ раскроя может быть рациональным;

3) безотходный способ раскроя не является рациональным;

4) рациональный способ раскроя является безотходным;

5) рациональный способ раскроя не является безотходным.

Задачи

Задача 1. Из прямоугольного листа железа размером 100 х 60 см необходимо изготовить квадратные заготовки со сторонами 50,40 и 20 см. Эти заготовки нужны в качестве перегородок при изго­товлении пластмассовых коробок для хранения инструментов. Чтобы сделать одну коробку, нужно иметь четыре заготовки со стороной 50 см, шесть заготовок со стороной 40 см и двенадцать — со стороной 20 см. На складе находится 100 листов материала.

Вопросы:

1. Сколько существует рациональных способов раскроя?

2. Какое максимальное количество коробок можно изготовить при условии, что оставшиеся заготовки можно использовать для следующей партии коробок?

3. Сколько рациональных способов раскроя следует использо­вать?

4. Сколько листов материала нужно, чтобы изготовить одну коробку?

Задача 2. Существует три рациональных способа раскроя еди­ницы материала А на заготовки трех типов. Эти же заготовки мо­гут быть получены двумя рациональными способами при раскрое единицы материала В. Количество заготовок, получаемых каждым из этих способов, показано в следующей таблице:

Заготовки используются для производства бытовой техники. В комплект поставки входят четыре заготовки первого типа, три заготовки второго типа и семь — третьего типа. На складе имеет­ся 100 единиц материала А и 300 единиц материала В.

Вопросы:

1. Сколько рациональных способов раскроя следует использо­вать?

2. Какое максимальное число комплектов заготовок можно из­готовить из имеющегося материала в предположении, что оставшиеся заготовки можно использовать при выполнении следующего заказа?

3. Сколько единиц материала А следует раскраивать третьим способом?

4. Какое максимальное число комплектов заготовок можно из­готовить из имеющегося материала, если число заготовок второго типа в комплекте увеличится до семи?

Задача 3. При раскрое деталей для производства единственно­го изделия на швейной фабрике используются два артикула тка­ни. Ширина ткани 1 м. Изделие собирается из двух деталей, при­чем каждая из них может быть получена путем раскроя ткани любого типа. Ткани можно раскраивать тремя способами, коли­чество деталей каждого вида, полученных из одного погонного метра ткани, указано в следующей таблице:

Ткани 1 поступает на фабрику в 2 раза больше (по длине), чем ткани 2. Количество готовых изделий должно быть максимальным.

Вопросы:

1. Сколько способов раскроя ткани 1 следует использовать?

2. Какая часть (в %) ткани 1 должна быть раскроена способом 1?

3. На сколько (в %) изменится выход готовых изделий по срав­нению с первоначальным, если на фабрику будет поступать равное количество обеих тканей?

Задача 4. На производство поступила партия стержней длиной 250 и 190 см. Необходимо получить 470 заготовок длиной 120 см и 450 заготовок длиной 80 см. Отходы должны быть минимальны.

Вопросы:

1. Какое количество стержней длиной 250 см надо разрезать?

2. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать?

3. Какова величина отходов (в см)?

4. Оказалось, что количество стержней длиной 250 см ограни­чено и равно 200 шт. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать в этом случае?

5. На сколько при этом увеличатся отходы (в см)?

Задача 5. Завод заключил договор на поставку комплектов стерж­ней длиной 18, 23 и 32 см. Причем количество стержней разной длины в комплекте должно быть в соотношении 1:5:3. На сегод­няшний день имеется 80 стержней длиной по 89 см. Как их следует разрезать, чтобы количество комплектов было максимальным?

Вопросы:

1. Сколько существует рациональных способов раскроя?

2. Сколько комплектов стержней будет выпущено?

3. Какова при этом величина отходов (в см)?