НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Системы с существенно нелинейны­ми элементами линеаризовать методами, рассмотренными при рассмотрении линейных систем, невозможно. Если ограничиться линеаризацией в тех точках, где она допу­стима, и попытаться анализировать систему как линейную во всем рабочем диапазоне, то можно получить неверные результаты.

Нелинейные системы классифицируют по виду существенно нелинейных элементов, входящих в систему. Следовательно, классификация нелинейных систем сводится к классификации существенно нелинейных характеристик элементов.

Существенно нелинейных характеристик много. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся из них.
Ограниченно-линейные характеристики линейные (наклонные) в начале и нелинейные (горизонтальные) по краям (рис.11.1). Такую характеристику имеют уси­лители и, в частности, электронный усилитель. Поскольку нали­чие нелинейных участков связано с насыщением элементов усилителей, то часто эту характеристику называют характеристикой с зоной насыщения.

Рис.11.1. Статическая характеристика электронного усилителя.

Характеристики с зоной нечувствительности. Если на вход элемента, имею­щего характеристику с зоной нечувствительности, подавать сигнал х ₁, то до тех пор, пока этот сигнал не превысит некоторого порогового значения х ₁₀,выходной сигнал х ₂будет равен нулю (рис.11.2,а). Пороговые значения входной величины разных знаков определяют величину зоны нечувствительности (на рис. 11.2,азона нечувствительности равна 2 x ₁₀).

Рис.11.2. К определению характеристики с зоной нечувствительности.
Появление зоны нечувствительности может быть вызвано различными при­чинами, зависящими от конструктивного выполнения и принципа действия данного элемента.

Например, в характеристике золотника причиной появления зоны нечувст­вительности является конструктивная особенность поясков поршня (рис.11.2,б). Поскольку ширина поясков больше, чем ширина отверстий, через которые мас­ло поступает в гидропривод, то понадобится осуществить некоторое· переме­щение штока золотника, прежде чем отверстия начнут открываться, и масло будет поступать в ту или другую полость гидропривода. Если характеристику с зоной нечувствительности (рис.11.2,а ) отнести к золотнику, то х ₁ будет обозначать ход штока золотника, а х ₂ – количество масла, проходящего через отверстие в единицу времени. В этом случае величина х ₂ определяет скорость движения поршня гидропривода.

На рис.11.2,впредставлен другой элемент, характеристика которого имеет зону нечувствительности,- устройство для передачи колебаний оси х ₁ на маят­ник с помощью поводка. Так как вилка имеет раствор δ, больший диаметра d подвески маятника, то приводная ось будет иметь свободный ход, при котором маятник остается в нулевом положении. Очевидно, что величина зоны нечувст­вительности равна δ - d.
Характеристики типа сухого трения или зазора имеют вид петли. Они не­однозначны во всем диапазоне изменения входной величины х ₁ (рис.11.3,а). Поясним построение такой характеристики на примере передачи угла поворота с помощью поводка и вилки (рис.11.3,б).

Пусть с оси 1 на ось 2 требуется передать угол поворота х ₁. С этой целью на оси 1 имеется вилка с раствором δ, а на оси 2 - поводок с диаметром d. Если вилка касается поводка стороной, противоположной направлению вращения, то угол поворота х ₂ изменяется пропорционально углу поворота х ₁. При изме­нении направления вращения вилка должна коснуться поводка другой сторо­ной. Следовательно, ось 1 будет иметь свободный ход, во время которого в передаче выбирается зазор δ - d,а ось 2 остается в неизменном положении.

Рис.11.3. К определению характеристики типа сухого трения или зазора.
Такую же характеристику имеет устройство, в котором осуществляется перемещение х ₂ползунка по направляющей под действием перемещения х ₁ свободного конца пружины (рис.11.3,в).При перемене направления движения сила трения F _тр,действующая между ползунком и направляющей, изменяет свой знак. Поэтому ползунок остается в неизменном положении до тех пор, пока сила, действующая на пружину, не уменьшится на величину 2 F _тр.

Сухое трение и зазоры, давая одинаковые по внешнему виду нелинейные характеристики элементов, принципиально отличаются друг от друга тем, что зазор в системе можно свести к нулю, например, установкой предварительно затянутой спиральной пружины на ось 2 (рис. 11.3,б), а силу трения можно только уменьшить, но к нулю свести ее нельзя.

Релейные характеристики имеют ту отличительную особенность, что в них при достижении входной величиной некоторых пороговых значений выходная величина изменяется скачкообразно (рис.11.4 – 11.7).

Рис.11.4. Схема включения (а) и характеристика (б) электрического контакта.
Рис. 11.5. Схема включения (а) и характеристика (б,в) скользящего контакта

Рис. 11.6. Характеристика электромагнитного реле

Рис. 11.7. Схема включения (а) и характеристика (б) биметаллического (теплового) реле.
Например, электрический контакт в зависимости от угла поворота произво­дит подачу напряжения в исполнительную цепь (рис. 11.4,а). Контакт имеет холостой ход х ₁₀(рис. 11.4,б). При х ₁ ≥ х ₁₀в исполнительную цепь подается напряжение .

У скользящего контакта, который управляет вращением реверсивного электродвигателя, положение щетки шириной d на контактной пластине опре­деляется углом поворота х ₁рычага щеткодержателя (рис. 11.5, а). Контактная пластина имеет в своей средней части изоляционный участок шириной δ. На­пряжение подается на ту или иную обмотку электродвигателя в зависимости от того, на каком проводящем участке пластины находится щетка. На рис. 11.5, б и в приведены характеристики скользящего контакта для случаев соответствен­но d = δ и d < δ. На характеристиках через х ₂обозначена скорость вращения электродвигателя.

На рис. 11.6 изображена типичная характеристика электромагнитного реле (х ₁– ток в обмотке реле или напряжение, подаваемое на обмотку; х ₂- ход контактов, отсчитываемый от их нормального положения). Характеристика имеет петлю, ширина которой равна разности тока срабатывания и тока отпу­скания.

На рис. 11.7,аизображено биметаллическое (тепловое) реле, управляющее исполни­тельным реверсивным электродвигателем. Реле имеет в качестве чувствитель­ного элемента биметаллическую пластину, помещенную между двумя непо­движными шарнирами. При некоторой температуре пластина изогнута так, что замкнут левый контакт. По мере уменьшения температуры пластина будет стремиться изогнуться в противоположную сторону. Перебрасывание контакта, а следовательно, и реверс двигателя может произойти только при температуре, ниже той, при которой кривизна свободной пластинки равна нулю. Характе­ристика реле изображена на рис. 11.7, б, где по оси абсцисс отложены изменения температуры х ₁,а по оси ординат - скорость вращения х ₂электродвигателя.

Следует отметить, что не все системы, имеющие контакты, относятся к не­линейным. В автоматических системах могут использоваться различные реле вспомогательного характера (например, для подключения источников питания), скачкообразность изменения выходных величин которых не влияет су­щественно на характер процесса управления. Такие системы можно отнести к линейным, если только у них нет других нелинейных элементов.

Нелинейная характеристика, имеющая вид петли гистерезиса, изображена на рис. 11.8. При наличии гистерезиса, например магнитного или механическо­го, зависимость выходной величины от входной будет неоднозначной. В отдель­ных случаях при точных расчетах эту неоднозначность приходится учитывать. Однако чаще при расчетах усредняют характеристику, заменяя петлю некото­рой средней линией. Так поступают, например, при использовании кривых на­магничивания различных сортов стали или при использовании характеристик механических пружин. В этом случае характеристика будет плавной, т. е. несущественно нелинейной.

Рис.11.8. Гистерезисная характеристика.

Рис.11.9. Схема (а) и характеристика (б) пневматического усилителя.
Комбинированные нелинейные характеристики представляют собой ком­бинацию из различных характеристик, рассмотренных ранее.

Примером может служить характеристика пневматического усилителя, который применяют в различных автоматических устройствах и, в частности, в ав­топилотах. Рассмотрим принцип действия этого усилителя (рис. 11.9,а). К за­дающим соплам 3 и 4, против которых расположены приемные сопла 1и 5, подводится воздух под некоторым давлением. Приемные и задающие сопла разделены заслонкой 2, которая может поворачиваться относительно оси 00 ', изменяя степень перекрытия приемных сопел. В результате этого давления в камерах пневматического реле 6 будут различными, что вызовет прогиб мембра­ны реле в ту или иную сторону.

Входной величиной усилителя является угол поворота заслонки х ₁,а вы­ходной - ход штока, связанного с мембраной пневматического реле х ₂.Если в исходном положении оба сопла закрыты, то заслонка должна повернуться на некоторый угол х ₁₀,прежде чем одно из сопел начнет воспринимать давление (рис. 11.9,б). При повороте заслонки на угол x₁₀ ≤ х ₁ ≤ х ₁₁ разность давлений в камерах пневматического реле, а следовательно, и перемещение штока х ₂будут пропорциональны углу поворота заслонки. Когда одно из приемных сопел полностью открыто (х ₁ > х ₁₁), в пневматическом реле установится максималь­ный перепад давления, который будет оставаться постоянным при дальнейшем повороте заслонки.

Как видно из рис. 11.9,б,характеристика пневматического усилителя яв­ляется комбинацией ограниченно-линейной характеристики и характеристики с зоной нечувствительности.